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Hauteur de Faltings d'une variété abélienne

Envoyé par MoinsUnPuissanceN 
Hauteur de Faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
Bonjour à tous, voilà ma question est simple.

On définit la hauteur de Faltings d'une variété abélienne définie sur un corps de nombres $K $ comme étant le degré du fibré vectoriel hermitien $\omega_{\mathcal{A} / \mathcal{O}_K}$ muni des normes $L_2 $, où $ \mathcal{A} \to Spec(\mathcal{O}_K)$ est le modèle de Néron.

J'aimerais savoir si l'on pouvait définir un analogue de cette hauteur de Faltings pour une variété abélienne définie sur un corps $K $quelconque ?
Si oui, je veux bien une référence !
Merci d'avance smiling bouncing smiley

[Même dans le titre Gerd Faltings (1954- ) prend toujours une majuscule. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Hauteur de faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
avatar
"Ma question est simple" drinking smiley
Re: Hauteur de faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
Disons la formulation de la question est simple ! (c'est ce que je voulais dire) grinning smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par MoinsUnPuissanceN.
Re: Hauteur de faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
Je n'ai rien compris, t'es capable de m'expliquer ce que veut dire [www.les-mathematiques.net] sur un exemple de courbe elliptique.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Hauteur de faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
Je n'y connais RIEN mais je réponds quand même. Ci-dessous 4 extraits, dans l'ordre de [www2.mathematik.hu-berlin.de], de [pmb.univ-fcomte.fr], de [webusers.imj-prg.fr] et enfin de [math.univ-bpclermont.fr]

@MoinsUnPuissanceN
Je trouve ta question très bizarre. D'abord mathématiquement. Sur un corps $K$ quelconque ? Cela pourrait vouloir dire quoi ? Question indiscrète : es tu en train d'écrire un mémoire sur les variétés abéliennes ? Et par ailleurs, est ce qu'il y a un effort pour te faire comprendre des personnes du forum ? C'est juste une question.

@reuns Dans le cas des courbes elliptiques complexes, on POURRAIT comprendre (si on nous l'expliquait en des termes simples). Mais il y a un certain nombre de variations. Peut-être que MoinsUnPuissanceN peut nous expliquer ces variations dans le cadre des bébés (courbes elliptiques). Par ailleurs, il faut un mental analytique et tu sais bien que je ne l'ai pas. Enfin, il y a souvent une confusion entre courbe elliptique (complexe disons) et modèle de Weierstrass. Un modèle $W$ (court ou pas) possède un $c_4, c_6$ (donc un $g_2, g_3$ mais ici on s'en fiche) d'où (théorème d'uniformisation) un UNIQUE réseau $\Lambda$ tel que $c_4(\Lambda) = c_4(W)$ et $c_6(\Lambda) = c_6(W)$.

Regarde l'étendue de mon ignorance (est ce que la hauteur obtenue est un réel $\ge 0$ ?) et les constantes qui ne correspondent pas à ....etc... Bref, ce n'est pas parce que l'on est ignorant qu'il faut fermer sa gueule.
Attention (bis) à la confusion entretenue par magma entre courbe elliptique et modèle. Ici je joue avec les modèles. Et comme je suis un petit joueur, j'ai pris une courbe elliptique rationnelle fournie par un modèle $\Z$-minimal. Si je mets du garbage dans le modèle, cela change le volume ...etc....
> n := 2*3*5 ;
> E := EllipticCurve([-n^2, 0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 900*x over Rational Field
> IsMinimalModel(E) ;
true
> 
> P := Periods(E) ;
> omega1, omega2 := Explode(P) ;
> // omega1 est réel donc le terme Im(omega1)*Re(omega2) est nul donc inutile
> VolE := Re(omega1)*Im(omega2) - Im(omega1)*Re(omega2) ; 
> VolE ;
0.229172860600679094249669859327
> FundamentalVolume(E) ;  // OFFICIEL (au sens magma)
0.229172860600679094249669859327
La hauteur de Falting
> FaltingsHeight(E) ;  // OFFICIEL (au sens magma)
0.736639355199540824162959323228
> Log(FundamentalVolume(E)) ;
-1.47327871039908164832591864646
> -1/2*Log(FundamentalVolume(E)) ;   // WHY ce -1/2 ???
0.736639355199540824162959323228
J'utilise maintenant ce que JE CROIS être la formule de Silverman mais je fais une certaine correction de $-\log(2\pi)$.
> tau := omega2 / omega1 ;
> 1/12 * (Log(Abs(Discriminant(E))) - Log(Abs(Delta(tau) * Im(tau)^6)))  -  Log(2*pi) ;  // WHY  -Log(2*pi)
0.736639355199540824162959323230
Quelqu'un (le posteur par exemple qui jongle avec des variétés abéliennes générales) peut m'expliquer ? Sous-entendu : au naze que je suis, à l'UTILISATEUR que je suis.


Re: Hauteur de Faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
Des digressions pour montrer comment je patauge

Pour $E/\Q : y^2 = x^3 + ax+b$ on peut intégrer la différentielle holomorphe/invariante $\frac{dx}{y}$ sur une base de l'homologie de $E(\C)$ : $\gamma_1=\{ (x,\sqrt{x^3+ax+b}), x : -\infty \to \infty\}$ et $\gamma_2=\{ (x,\sqrt{x^3+ax+b}), x : -\infty \to x_0\}\cup \{ (x,\sqrt{x^3+ax+b}), x : x_0 \to \infty\}$, ça donne à peu près (mais pas exactement..) ce que répond magma pour $Periods(E)$

Les différentielles méromorphes de $E$ définies sur $\Q$ sont de la forme $w(x,y) dx, w \in \Q(E)$ donc $\Q \frac{dx}{y}$ c'est l'ensemble des différentielles holomorphes définies sur $\Q$ et $\Z \frac{dx}{y}$ c'est celles qui restent définies dans toutes les réductions $\bmod p$ de $E$. Donc $\pm \frac{dx}{y}$ est la différentielle canonique, qu'on intègre sur $\gamma_1,\gamma_2$ pour avoir le réseau $L$ associé au modèle $y^2 = x^3+ax+b$.

Autre façon de faire apparaître $L$ : soit $L = u \Z+v \Z$ l'unique réseau tel que $a = c_4(L),b =c_6(\Lambda)$ donc tel que $z \in \C / \Lambda \mapsto (\wp_L(z),\wp_L'(z)) \in E(\C)$ est un isomorphisme.

$\wp_L(z) $ est analytique en $z,L$ : c'est la fonction de $z$ avec des pôles doubles $\sim \frac{1}{(z-l)^2}$ aux points $l \in L$. De cette définition pour tous les réseaux on a aussi des définitions de $c_4,c_6,\Delta$..

Intégrer $dz$ sur $H_1(\C/L, \Z ) =\Z [0,u]+\Z [0,v]$ c'est pareil qu'intégrer $ \frac{dx}{y} = \frac{d\wp_L(z)}{\wp_L'(z)}$ sur $H_1(E(\C), \Z ) = \gamma_1\Z+\gamma_2 \Z$, intégration qui nous renvoie donc $L = u \Z+v \Z$.

Soit $\Z+\tau \Z$ un réseau isomorphe à $E(\C)$, alors $|\Delta(\tau)| \Im(\tau)^6$ est $SL_2(\Z)$ invariante donc ne dépend que de la classe d'isomorphisme de $E$. En particulier on a $v/u \in SL_2(\Z) \tau$ et $|\Delta(\frac{v}{u})| \Im(v/u)^6 = |\Delta(\tau)| \Im(\tau)^6$.

Ensuite $ u^{-12} \Delta(\Z+\frac{u}{v} \Z)= \Delta(u (\Z+\frac{v}{u} \Z))= \Delta(L) = \Delta_E =-16( 4a^3+27b^3) $

d'où $$ |\Delta_E | \Im(v/u)^6 = |u|^{-12} |\Delta(\Z+\frac{v}{u} \Z)| \Im(v/u)^6 = |u|^{-12} |\Delta(\tau)| \Im(\tau)^6$$

et la hauteur de Faltings nous parle de $h_{Falt}(E)=\log |\Delta_E| - \log |\Delta(\tau)| \Im(\tau)^6 = - 12 \log|u| - 6 \log \Im(v/u)$. Revenir au début pour voir pourquoi on peut définir $u$ comme $\int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{\sqrt{x^3+ax+b}}$ et $v = \int_{\gamma_2} \frac{dx}{y}$.

La fonction $h_{Falt}(u\Z + v\Z)= - 12 \log|u| - 6 \log \Im(v/u)$ se comporte bien par rapport aux isogénies : $h_{Falt}((Au+Bv)\Z + (Cu+Dv)\Z) = h_{Falt}(u\Z + v\Z) - 6 \log(AD-BC)$. Pourtant tes liens disent qu'on a seulement une inégalité pour les isogénies et pas une formule simple..

Si en plus on a un morphisme $\phi : X_0(N) \to E$ issu du théorème de modularité alors $u,v$ deviennent aussi des intégrales de la forme modulaire $2i \pi d \phi(z)$ sur des lacets de la courbe modulaire.

Pour une courbe elliptique $E/K$ plutôt que $ E/\Q$ ils prennent la somme sur toutes les $E^\sigma, \sigma \in Hom(K,\C)$, quel intérêt ? En général quand on fait ça c'est qu'on espère obtenir des rationnels ou des entiers, mais ici il me semble que (sauf dans le cas particulier où $E$ a CM) tous les $\tau,u,v$ sont transcendants ?



Edité 8 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par reuns.
Re: Hauteur de Faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
$\def\H{\mathbb H}\def\Vol{\text{Vol}}\def\Disc{\text{Disc}}\def\Im{\text{Im}}\def\Re{\text{Re}}$Je n'ai pas encore lu ton post. Il y a peut-être des points communs avec ce que j'avais préparé ci-dessous. La page provient de Pazuki, exposé à Bordeaux in [www.math.u-bordeaux.fr] ou bien [176.58.104.245]. Le $2\tau$ versus $\tau$ qui figurait dans son papier à Besançon a été corrigé.
Je fais un truc vachement modeste dans le contexte suivant
$$
\Lambda = \Z \omega_1 \oplus \Z \omega_2, \quad \omega_1 \text { réel}, \quad \tau = {\omega_2 \over \omega_1} \in \H \text { (demi-plan de Poincaré)}
\qquad E = \C/\Lambda
$$
avec les notations suivantes:
$$
\Disc(E) = \Disc(\Lambda) = g_2(\Lambda)^3 - 27g_3(\Lambda)^2 ,\qquad\qquad
\Vol(E) = \Vol(\Lambda) = \text {valeur absolue de } \left| \matrix {\Re(\omega_1) & \Re(\omega_2) \\ \Im(\omega_1) & \Im(\omega_2) } \right| = \omega_1\Im(\omega_2)
$$
1. Je vais démontrer (je laisse volontairement le $i$ dans $(2i\pi)^{12}$, histoire de bien se souvenir que dans le discriminant modulaire $\Delta$, il y a, pour des histoires de $\Q$-rationalité et même de $\Z$-intégralité, ce que j'appelle la $2i\pi$-épuration)
$$
(2i\pi)^{12} \ \Delta(\tau)\ \Im(\tau)^6 = \Disc(E)\ \Vol(E)^6
$$

2. Je donne un coup de valeur absolue et je prends le log (et cette fois, je vire le $i$)
$$
12\log(2\pi) + \log |\Delta(\tau)\, \Im(\tau)^6| = \log |\Disc(E)| + 6\log \Vol(E)
$$
En divisant par 12 et en faisant passer les intervenants dans le bon membre
$$
-{1\over 2}\log \Vol(E) = {1 \over 12} \left[ \log |\Disc(E)| - \log | \Delta(\tau) \Im(\tau)^6 |\right] - \log(2\pi)
$$
C'est EXACTEMENT ce que j'avais constaté dans mon expérimentation magma.

3. Je fournis la preuve de 1. qui est ultra-simple si on se souvient que le réseau de référence dans l'expression modulaire $\Delta(q)$, $q = 2i\pi\tau$ est $2i\pi (\Z \oplus \Z\tau)$ et non pas $\Z \oplus \Z\tau$:
$$
2i\pi (\Z \oplus \Z\tau) = {2i\pi \over \omega_1} (\Z\omega_1 \oplus \Z\omega_2) = {2i\pi \over \omega_1} \Lambda
$$
En tenant compte de $\Disc(\lambda \Lambda) = \lambda^{-12} \Disc(\Lambda)$ et en utilisant $\Im(\tau) = \Im(\omega_2)/\omega_1$
$$
\Delta(\tau) = {\Disc(E) \over (2i\pi/\omega_1)^{12}} \quad \text {d'où} \quad
(2i\pi)^{12} \ \Delta(\tau) = \Disc(E) \ \omega_1^{12} \quad \text {d'où} \quad
(2i\pi)^{12} \ \Delta(\tau) \Im(\tau)^6 = \Disc(E) \ (\Im(\omega_2) /\omega_1)^6 = \Disc(E)\ \Vol(E)^6
$$

4. Ce que je viens d'écrire ne va pas ch.er loin, j'en conviens. Du coup, dans la page attachée, le ``With $c_0 = (2\pi)^2$ in the definition ...etc..'', on croit comprendre que la hauteur de Faltings est $\ge 0$. Non ? C.a.d. ici la quantité $-{1\over 2}\log \Vol(E)$ qui serait positive ? En supposant (petit joueur) que cette fois $E/\Q$ est une courbe elliptique rationnelle et que comme d'habitude, je ``confonds'' $E$ avec son modèle $\Z$-minimal, qui est essentiellement unique à un $\Z$-isomorphisme près. Ce qui fait qu'il y a UN réseau $\Delta_E$ bien précis attaché au modèle $E$, celui qui vérifie $c_4(\Lambda_E) = c_4(E)$, $c_6(\Lambda_E) = c_6(E)$. Quitte à insister lourdement, j'ai confondu courbe elliptique et modèle (une courbe elliptique cela n'a pas de $c_4$, $c_6$, ce sont des notions attachées au modèle). Bref, je pose la question : pourquoi cette quantité serait positive ?


Re: Hauteur de Faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
$\def\cO{\mathcal O}\def\Spec{\text{Spec}}$Suite

0. J'ai toujours aimé cette phrase attribuée à Paul Valéry : Ce qui est simple est faux, ce qui est compliqué est inutilisable. Rapportée dans je ne sais plus quel livre mais je ne crois pas ce que cela soit la phrase exacte de Paul Valéry (here, play with wiki). J'ignore dans quel contexte Paul Valéry avait écrit cette phrase mais peu importe, même approximative, j'aime bien.

1. J'avais oublié, pour les courbes elliptiques, où j'avais vu le lien entre la hauteur de Faltings et le volume. Mais je viens de voir que cela figure dans la doc magma ! J'attache. J'ai confiance dans les implémenteurs qui sont des pointures (Cremona, autrefois Stein ...etc...) et qui ne peuvent pas se permettre d'être approximatifs. Que penser par exemple de la formule donnée par Pazuki dans son papier de Besançon, th 2.5 page 52 et celle qu'il donne dans son papier Heights à Bordeaux (Remark 15.8, page 35) ?

2. Positivité de la hauteur ??
> Emin ;                       
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 2*x - 3 over Rational Field
> IsMinimalModel(Emin) ;
true
> FundamentalVolume(Emin) ;
3.57795149807137453301088878877
> FaltingsHeight(Emin) ;
-0.637395214698467068847173229597

3. Mais heureusement pour un mémoire, pas besoin de tout ce fourbi (cadre courbes elliptiques) qui pue trop la sueur et évoque des mains dans le cambouis. Au lieu de prendre des exemples, il suffit de prendre de la hauteur : considérer une variété abélienne quelconque sur un corps de nombres quelconque $K$, modèle de Néron, tout le truc quoi. Et utiliser surtout $\Spec(\cO_K)$ (ça vous pose son homme, hum un peu macho ici) ...etc.. De la hauteur que je dis et pas la tête dans le guidon.


Re: Hauteur de Faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
Merci je crois que je vois à peu près le truc.

Pour $E : y^2=x^3+ax+b$ un modèle minimal leur $\omega_{A/Spec(O_K)}$ c'est juste $O_K \frac{dx}{y}$ et $s = c\frac{dx}{y}$ pour $c \in O_K$, quand on intègre $s$ ça donne un isomorphisme $E(\C) \to \Lambda$ (où $\Lambda = \{ \int_\gamma s\ \ | \ \ \gamma$ lacet dans $E(\C)\}$)

et quand on remplace $c$ par $2c$ ça remplace $\Lambda$ par $2\Lambda$, d'où le facteur de normalisation $\# \omega_{A/Spec(O_K)} / s O_K = \# O_K/sO_K$.

Quand on a une isogénie $f : E_2 \to E$ il faut regarder le pullback de $s$ sur $E_2$ et essayer de comprendre : comment elle diffère de la 1-forme $s_2$ qu'on avait prise sur $E_2$, et comment pour des isogénies définies sur $K$ on a des rapports $K$-rationnels entre les 1-formes $f^*s ,s_2$ donc entre les réseaux obtenus en les intégrant.

Evidemment pour intégrer $s$ il faut d'abord choisir un embedding $K \to K_v \subset \C$, la 1-forme reste la même mais pas le réseau obtenu
Re: Hauteur de Faltings d'une variété abélienne
il y a cinq mois
Vu. Cela vaut le coup de regarder Milne, Abelian Varieties [www.jmilne.org], section IV.6, pas snob du tout, voire pédagogique. Il y aura peut-être une suite mais pour l'instant je me pose pour un certain temps.
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