Hauteur de Faltings d'une variété abélienne

Je n'y connais RIEN mais je réponds quand même. Ci-dessous 4 extraits, dans l'ordre de https://www2.mathematik.hu-berlin.de/~bakkerbe/faltings6.pdf, de http://pmb.univ-fcomte.fr/2014/Pazuki.pdf, de https://webusers.imj-prg.fr/~marc.hindry/MW-size.pdf et enfin de http://math.univ-bpclermont.fr/~gaudron/art11.pdf

@MoinsUnPuissanceN
Je trouve ta question très bizarre. D'abord mathématiquement. Sur un corps $K$ quelconque ? Cela pourrait vouloir dire quoi ? Question indiscrète : es tu en train d'écrire un mémoire sur les variétés abéliennes ? Et par ailleurs, est ce qu'il y a un effort pour te faire comprendre des personnes du forum ? C'est juste une question.

@reuns Dans le cas des courbes elliptiques complexes, on POURRAIT comprendre (si on nous l'expliquait en des termes simples). Mais il y a un certain nombre de variations. Peut-être que MoinsUnPuissanceN peut nous expliquer ces variations dans le cadre des bébés (courbes elliptiques). Par ailleurs, il faut un mental analytique et tu sais bien que je ne l'ai pas. Enfin, il y a souvent une confusion entre courbe elliptique (complexe disons) et modèle de Weierstrass. Un modèle $W$ (court ou pas) possède un $c_4, c_6$ (donc un $g_2, g_3$ mais ici on s'en fiche) d'où (théorème d'uniformisation) un UNIQUE réseau $\Lambda$ tel que $c_4(\Lambda) = c_4(W)$ et $c_6(\Lambda) = c_6(W)$.

Regarde l'étendue de mon ignorance (est ce que la hauteur obtenue est un réel $\ge 0$ ?) et les constantes qui ne correspondent pas à ....etc... Bref, ce n'est pas parce que l'on est ignorant qu'il faut fermer sa gueule.
Attention (bis) à la confusion entretenue par magma entre courbe elliptique et modèle. Ici je joue avec les modèles. Et comme je suis un petit joueur, j'ai pris une courbe elliptique rationnelle fournie par un modèle $\Z$-minimal. Si je mets du garbage dans le modèle, cela change le volume ...etc....

[color=#000000]> n := 2*3*5 ;
> E := EllipticCurve([-n^2, 0]) ;
> E ;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 900*x over Rational Field
> IsMinimalModel(E) ;
true
> 
> P := Periods(E) ;
> omega1, omega2 := Explode(P) ;
> // omega1 est réel donc le terme Im(omega1)*Re(omega2) est nul donc inutile
> VolE := Re(omega1)*Im(omega2) - Im(omega1)*Re(omega2) ; 
> VolE ;
0.229172860600679094249669859327
> FundamentalVolume(E) ;  // OFFICIEL (au sens magma)
0.229172860600679094249669859327
[/color]

La hauteur de Falting

[color=#000000]> FaltingsHeight(E) ;  // OFFICIEL (au sens magma)
0.736639355199540824162959323228
> Log(FundamentalVolume(E)) ;
-1.47327871039908164832591864646
> -1/2*Log(FundamentalVolume(E)) ;   // WHY ce -1/2 ???
0.736639355199540824162959323228
[/color]

J'utilise maintenant ce que JE CROIS être la formule de Silverman mais je fais une certaine correction de $-\log(2\pi)$.

[color=#000000]> tau := omega2 / omega1 ;
> 1/12 * (Log(Abs(Discriminant(E))) - Log(Abs(Delta(tau) * Im(tau)^6)))  -  Log(2*pi) ;  // WHY  -Log(2*pi)
0.736639355199540824162959323230
[/color]

Quelqu'un (le posteur par exemple qui jongle avec des variétés abéliennes générales) peut m'expliquer ? Sous-entendu : au naze que je suis, à l'UTILISATEUR que je suis.

$\def\H{\mathbb H}\def\Vol{\text{Vol}}\def\Disc{\text{Disc}}\def\Im{\text{Im}}\def\Re{\text{Re}}$Je n'ai pas encore lu ton post. Il y a peut-être des points communs avec ce que j'avais préparé ci-dessous. La page provient de Pazuki, exposé à Bordeaux in https://www.math.u-bordeaux.fr/~abesheno/heights.pdf ou bien http://176.58.104.245/ALGANT/PAZUKI/heights.pdf. Le $2\tau$ versus $\tau$ qui figurait dans son papier à Besançon a été corrigé.
Je fais un truc vachement modeste dans le contexte suivant
$$
\Lambda = \Z \omega_1 \oplus \Z \omega_2, \quad \omega_1 \text { réel}, \quad \tau = {\omega_2 \over \omega_1} \in \H \text { (demi-plan de Poincaré)}
\qquad E = \C/\Lambda
$$
avec les notations suivantes:
$$
\Disc(E) = \Disc(\Lambda) = g_2(\Lambda)^3 - 27g_3(\Lambda)^2 ,\qquad\qquad
\Vol(E) = \Vol(\Lambda) = \text {valeur absolue de } \left| \matrix {\Re(\omega_1) & \Re(\omega_2) \\ \Im(\omega_1) & \Im(\omega_2) } \right| = \omega_1\Im(\omega_2)
$$
1. Je vais démontrer (je laisse volontairement le $i$ dans $(2i\pi)^{12}$, histoire de bien se souvenir que dans le discriminant modulaire $\Delta$, il y a, pour des histoires de $\Q$-rationalité et même de $\Z$-intégralité, ce que j'appelle la $2i\pi$-épuration)
$$
(2i\pi)^{12} \ \Delta(\tau)\ \Im(\tau)^6 = \Disc(E)\ \Vol(E)^6
$$

2. Je donne un coup de valeur absolue et je prends le log (et cette fois, je vire le $i$)
$$
12\log(2\pi) + \log |\Delta(\tau)\, \Im(\tau)^6| = \log |\Disc(E)| + 6\log \Vol(E)
$$
En divisant par 12 et en faisant passer les intervenants dans le bon membre
$$
-{1\over 2}\log \Vol(E) = {1 \over 12} \left[ \log |\Disc(E)| - \log | \Delta(\tau) \Im(\tau)^6 |\right] - \log(2\pi)
$$
C'est EXACTEMENT ce que j'avais constaté dans mon expérimentation magma.

3. Je fournis la preuve de 1. qui est ultra-simple si on se souvient que le réseau de référence dans l'expression modulaire $\Delta(q)$, $q = 2i\pi\tau$ est $2i\pi (\Z \oplus \Z\tau)$ et non pas $\Z \oplus \Z\tau$:
$$
2i\pi (\Z \oplus \Z\tau) = {2i\pi \over \omega_1} (\Z\omega_1 \oplus \Z\omega_2) = {2i\pi \over \omega_1} \Lambda
$$
En tenant compte de $\Disc(\lambda \Lambda) = \lambda^{-12} \Disc(\Lambda)$ et en utilisant $\Im(\tau) = \Im(\omega_2)/\omega_1$
$$
\Delta(\tau) = {\Disc(E) \over (2i\pi/\omega_1)^{12}} \quad \text {d'où} \quad
(2i\pi)^{12} \ \Delta(\tau) = \Disc(E) \ \omega_1^{12} \quad \text {d'où} \quad
(2i\pi)^{12} \ \Delta(\tau) \Im(\tau)^6 = \Disc(E) \ (\Im(\omega_2) /\omega_1)^6 = \Disc(E)\ \Vol(E)^6
$$

4. Ce que je viens d'écrire ne va pas ch.er loin, j'en conviens. Du coup, dans la page attachée, le ``With $c_0 = (2\pi)^2$ in the definition ...etc..'', on croit comprendre que la hauteur de Faltings est $\ge 0$. Non ? C.a.d. ici la quantité $-{1\over 2}\log \Vol(E)$ qui serait positive ? En supposant (petit joueur) que cette fois $E/\Q$ est une courbe elliptique rationnelle et que comme d'habitude, je ``confonds'' $E$ avec son modèle $\Z$-minimal, qui est essentiellement unique à un $\Z$-isomorphisme près. Ce qui fait qu'il y a UN réseau $\Delta_E$ bien précis attaché au modèle $E$, celui qui vérifie $c_4(\Lambda_E) = c_4(E)$, $c_6(\Lambda_E) = c_6(E)$. Quitte à insister lourdement, j'ai confondu courbe elliptique et modèle (une courbe elliptique cela n'a pas de $c_4$, $c_6$, ce sont des notions attachées au modèle). Bref, je pose la question : pourquoi cette quantité serait positive ?

Merci je crois que je vois à peu près le truc.

Pour $E : y^2=x^3+ax+b$ un modèle minimal leur $\omega_{A/Spec(O_K)}$ c'est juste $O_K \frac{dx}{y}$ et $s = c\frac{dx}{y}$ pour $c \in O_K$, quand on intègre $s$ ça donne un isomorphisme $E(\C) \to \Lambda$ (où $\Lambda = \{ \int_\gamma s\ \ | \ \ \gamma$ lacet dans $E(\C)\}$)

et quand on remplace $c$ par $2c$ ça remplace $\Lambda$ par $2\Lambda$, d'où le facteur de normalisation $\# \omega_{A/Spec(O_K)} / s O_K = \# O_K/sO_K$.

Quand on a une isogénie $f : E_2 \to E$ il faut regarder le pullback de $s$ sur $E_2$ et essayer de comprendre : comment elle diffère de la 1-forme $s_2$ qu'on avait prise sur $E_2$, et comment pour des isogénies définies sur $K$ on a des rapports $K$-rationnels entre les 1-formes $f^*s ,s_2$ donc entre les réseaux obtenus en les intégrant.

Evidemment pour intégrer $s$ il faut d'abord choisir un embedding $K \to K_v \subset \C$, la 1-forme reste la même mais pas le réseau obtenu