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Exercice mais...

Envoyé par AitJoseph 
Exercice mais...
il y a six semaines
J'ai presque inventé cet exercice que je n'arrive pas à résoudre.

n est un entier supérieur ou égal à 3, trouver tous les entiers naturels distincts a1, a2, ..., an tels que
pour chaque i compris entre 1 et n : ai divise la somme des aj.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Exercice mais...
il y a six semaines
Je pense qu'il va être difficile de caractériser les solutions. En effet, pour $n \geq 4$, si $a_1, \ldots, a_{n-1}$ sont des entiers strictement positifs deux à deux distincts, il est toujours possible de trouver un entier $a_n >0$ tel que $a_1,\ldots, a_{n-1},a_n$ soient deux à deux distincts et tels que, pour tout $i$, le nombre $a_i$ divise $a_1 + \cdots + a_n$.

C'est par exemple traité dans l'exo I du Concours Général 2013.

Pierre.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Exercice mais...
il y a six semaines
PierreB : Non, $a_n$ divise $\sum_{j=1}^{n-1}$ donc pour la plupart des $a_1,\ldots,a_{n-1}$ il n'y a pas de solution pour $a_n$, relis ton lien

Sinon le problème de l'énumération est sur [oeis.org]
$1 = \sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j},~ g = \mathrm{ppcm}(x_1,\ldots,x_n), ~g h= \sum_{j=1}^n \frac{gh}{x_j}$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Exercice mais...
il y a six semaines
Oui, il était un peu tard et ma mémoire m'a quelque peu fait défaut, désolé. Mais, ça ne change pas grand chose dans le fond :
Un ensemble fini d'entiers strictement positifs peut toujours être complété pour afin d'obtenir un (sur)-ensemble fini d'entiers strictement positifs ayant la propriété souhaitée. Mais, en général, il faut effectivement en ajouter plus d'un...
Cela dit, à $n$ fixé, cela rend sans doute la caractérisation des "bons" ensembles de $n$ entiers assez peu probable, d'autant que la "complétion" n'est pas unique.

Pierre.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par PierreB.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
L'exercice possède bel et bien une solution.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Une solution pour quoi exactement ? Ton $n$ est fixé ou pas ? Si on autorise les répétitions et tous les $n$ alors c'est évident d'énumérer les $x_j$ tels que $\sum_{j=1}^n 1/x_j = 1$.

De plus une fois $n$ fixé si les $x_j$ sont trop grands, $\ge M_n$ alors il n'y a pas de solution.

Mais énumérer directement ceux sans répétition, sans essayer tous les $x \in \{1, \ldots, M_n\}^n$, c'est plus compliqué...
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
@reuns

Je crois que tu fais erreur sur l'énoncé de l'exercice, il s'agit d'une somme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AitJoseph.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
avatar
On peut poser $a_1=1,a_2=2,a_3=3$ et, pour $k$ compris entre $3$ et $n$ inclus, $a_k=\sum_{i=1}^{k-1} a_i$.

Mais il y a d'autres solutions, comme celles commençant par $a_1=1,a_2=2,a_3=6,a_4=9$, puis, pour $k$ compris entre $4$ et $n$ inclus, $a_k=\sum_{i=1}^{k-1} a_i$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par marco.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Et la solution générale ?
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Non je ne fais pas erreur, j'ai dit qu'avec $x_i = s/a_i,\ s = \sum_i a_i$ le problème était de trouver les $n$-uples d'entiers distincts ou strictement croissants tels que $\sum_i 1/x_i = 1$.

L'intérêt c'est que ce problème est connu depuis 3000 ans : la décomposition de $1$ en fractions égyptiennes,
et qu'étant donné $x_1,\ldots,x_j$ ssi $\sum_{i=1}^j 1/x_i = u/v\le 1$ alors $x_1,\ldots,x_j,\underbrace{v, \ldots,v}_u$ est solution du problème où on autorise les répétitions.
Si tu penses avoir une solution au problème sans répétitions alors montre là nous ou donne des indications...



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Bonsoir,
je souhaite faire une remarque: si on a systématiquement au moins un n-plet d'entiers solution
on peut remarquer, que la $\mathbb{N^*}$-droite d'uplets sera aussi une solution, ce qui laisserait entendre que l'on peut chercher les solutions dans un cadre projectif.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Bonjour,
en regardant pour n=3 (avec Scratch) il semblerait qu'il n'y ait que à permutations près il y a les triplets (1;1;1) , (1;1;2) et (1;2;3) et les $\mathbb{N^*}$-droite qu'ils engendrent... est-ce que quelqu'un aurait d'autres triplets possibles pour n=3 ?
merci.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
suite... pour n=4 il semblerait qu'iln'y ait que 55 solutions commençant par un 1... si quelqu'un en trouve d'autres...
(ça serait assez sympa de constater que aurait un lien avec le nombre façon de colorier le plan de Fano)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par callipiger.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
avec Scratch... mais après tout pourquoi pas... (il faudrait y ajouter l'option: créer des variables... dans le programme pour que ce soit encore plus from the scratch, ... au début j'étais contre et finalement, c'est très agréable de coder comme ça, c'est rapide en tout cas) les solutions dans le cube 50^3 , puis 4-cube de côté 50 sont en pièces jointes
(et non ce sont pas des manipulations au hasard pour coller au résultats...quoiqu'on puisse en penser)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par callipiger.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - Triplets jusqu'à 50.pdf (12.2 KB)
ouvrir | télécharger - Quadruplets jusqu'à 50.pdf (34.3 KB)
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Merci Callipiger pour ton intervention claire et constructive. 1, 2 , 6,et 9 est aussi une solution pour n=4. Les solutions a1.....an sont distinctes , alors il reste combien de 55 pour n=3 ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AitJoseph.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
- Pour le problème avec répétition et $n=3$

On veut des entiers $2 \le x_1 \le x_2 \le x_3$ tels que $1/x_1+1/x_2+1/x_3 = 1$

On a $(x_1+x_2)/x_1x_2 = (x_3-1)/x_3$ où $gcd(x_3-1,x_3)=1$ donc $x_3 | x_1x_2$ ce qui implique $x_3 \le 3^2$ car sinon $x_2 \ge 3$ et donc $1/x_1 \ge 1-1/3^2-1/3 > 1/2$ ce qui est impossible.

Autrement dit les seules solutions sont $$(x_1,x_2,x_3) \in (2,3,6), (2,4,4),(3,3,3)$$

- Pour le problème sans répétition et $n=3$ la seule solution est $(x_1,x_2,x_3) = (2,3,6)$

- Et donc les solutions pour $ a_3 \ge a_2 \ge a_1 \ge 1$ tels que chaque $a_i | a_1+a_2+a_3$ sont les $(a_1,a_2,a_3) = (\frac{lm}{x_1},\frac{lm}{x_2},\frac{lm}{x_3})$ où $l = lcm(x_1,x_2,x_3)$ et $m$ est n'importe quel entier $\ge 1$.

- Les solutions pour $ a_3 > a_2 > a_1 \ge 1,a_i | a_1+a_2+a_3$ sont les $(a_1,a_2,a_3) = (\frac{6m}{2},\frac{6m}{3},\frac{6m}{6})$ où $m$ est n'importe quel entier $\ge 1$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
@ Ait Joseph
cela en fait je ne sais pas... je n'arrive pas encore à trouver par "récurrence" comment passer de $n$ à $n+1$ il y a comme une notion de "solutions primitives"
je ne sais pas si une solution primitive en $n$ permet de passer une solution en $n+1$ fût-elle "primitive " ou pas...
mais peut-être.

Généralement ça existent des "tours d'espaces projectifs",
ou alors passer par des "tours d'espace vectoriels " (=drapeaux ?) pour cette exercice là.

PS. Je dois me reposer des fois, le sommeil compte.

Non les 55 c'est pour n=4 en prenant la famille de représentants contenant un "1" (au début où à la fin) edit il manque 5 solutions
edit : pour 55, avec n=4 cela fait 60*4! solutions admissibles contenant un "1"
edit 2 : répondant à votre question je me rends compte que me si la factorielle l'emporte sur le polynomial, le polynomial n'est pas à rejeter de suite (à voir à creuser, peut-être un lien avec Polya, ou une juste des points fixes... bref je sais pas trop là du coup). edit pas de Polya

C[/b]e qui m'inquiète : réaliser qu'il y a des solutions primitives à partir d'un $n$ assez grand ne contenant pas de "1"
je n'ai pas regardé.

PS2. Ce sujet est peut-être encore plus riche que je ne le pensais, il laisse entrevoir encore des choses... mais à voir pour le moment, ça ne fait que tâtonner,

@AitJoseph si vous avez une solution, gardez la sous le coude, encore 2/3 jours, merci.

PS3. Je n'ai pas enregistré mes programmes Scratch avant d'éteindre l'ordi, mais ce n'est pas grave ce n'est pas si dur à retaper, écrire, bloc à déplacer, (pour programmer Scratch est un bon brouillon rapide).

@reuns je dois encore regarder ce que vous écrivez en détails, mais j'avoue que ça me fait un peu peur, car c'est un bornage à la "diophantienne" donc incertain ? (pour moi et ce qui figure ici en rouge a été édité bien après mon message initial mal et incomplètement exprimé)... de mon point de vue, je ne vois pas encore comment généraliser et n'ai pas encore totalement compris votre raisonnement.



Edité 8 fois. La dernière correction date de il y a quatre semaines et a été effectuée par callipiger.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
@ à Ait Joseph donc la solution serait un "$\mathbf{N^*}$-module" ?
en pensant aux négatifs qui sont exclus pour le moment je pense à une structure qui a peut-être déjà un nom mais écrire son nom ici avec mes mots à moi va faire fuir tout le monde...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par AD.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Je parle dans le vent ou quoi ?

Pour $n=4$ on a $(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)/x_1x_2x_3 = (x_4-1)/x_4$ donc $x_4 |x_1x_2x_3$ et donc $x_4 < 3^6$ car sinon le plus grand des 3 est $x_3 \ge x_ 4^{1/3}\ge 3^2$
et donc $1/x_1+1/x_2 \ge 1-1/3^6-1/3^2> 1/2+1/3$ ce qui est impossible vu que $(x_1,x_2) \ne (2,2)$

et donc les solutions pour $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ entiers croissants tels que $\sum_i 1/x_i=1$ sont

4 4 4 4 
3 4 4 6 
3 3 6 6 
2 6 6 6 
2 4 8 8 
2 5 5 10 
3 3 4 12 
2 4 6 12 
2 3 12 12 
2 3 9 18 
2 4 5 20 
2 3 7 42

Ensuite comme d'habitude les solutions pour les $a_i | \sum_j a_j$ sont $(a_1,a_2,a_3,a_4) = (\frac{lm}{x_1},\frac{lm}{x_2},\frac{lm}{x_3},\frac{lm}{x_4})$ où $l = lcm(x_1,x_2,x_3,x_4)$ et $m$ est n'importe quel entier $\ge 1$.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
@reuns

Commençons nous bien... vous normalisez par les $\frac{1}{x_i}$
Je choisis mes représentants avec un 1 dans l'uplet et très sincèrement je ne sais pas si le passage de l'un à l'autre est trivial ou pas et même si j'y pense ce n'est pas clair.
Cette histoire de solution primitive me stresse. Et même beaucoup sincèrement. Il se pourrait que nous disions la même chose sans nous en rendre compte.

PS. Je suis plus dans la réaction et je ne me contrôle pas là et je suis navré mais quand tout est à faire comment temporiser. Je dois faire ça à tête reposée... et simplement là je vais boire un coup, cuisiner et aller voir le dernier superman ...
Rdv à demain soir dans [quand ?] mon chaos aura décanté. Désolé.

[Dommage que ton "chaos" t'ait empêché de relire ton message et de le corriger ! grinning smiley AD]

pour AD... (je ne peux que compatir et accepter la critique, vous faites un travail "monstrueux... " (au sens positif) comment gérer une telle foule de personnes qui ont eu le bac et qui sont si turbulents... et transmettre tant d'informations !!!! mais dans le cas présent: je voulais aller vite, je me suis accordé 10/15/20 minutes pour écrire avec une sensation d'urgence à dire et d'urgence à écrire, un mix très curieux, que je ne comprends qu'à moitié... ce qui est sans doute mieux que ne pas savoir, mais tout savoir a un prix )



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par callipiger.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Sérieusement ?

Evidemment que c'est trivial de poser $x_i =\frac{ \sum_j a_j}{a_i}$

$\sum_j a_j = lm $ où $l= lcm(x_1,\ldots,x_n)$

et tu as $a_1 = 1$ ssi $l = x_1$ et $m=1$



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
@reuns
Je suis ok pour le principe, mais c'est un raccourci dangereux pour moi je ne le maîtrise pas, et pour moi ce n'est pas si trivial, je vous l'assure. Et je ne sais pas comment crier ma sincérité plus fort, il y a quelque chose qui a l'air facile, mais je me dis que l'on n'est jamais à l'abri d'une anomalie, peut-être dans 4/5 jours je réaliserai que j'ai été idiot ou que j'aurais dû savoir le faire comme vous, mais là maintenant, non je n'y arrive pas, laissez temporisez tout ça, et je ferai mieux demain, ou plus tard.

Je lâche l'affaire un petit moment, le problème n'en demeure pas moins passionnant, je voudrais que les mathématiques règnent, et pas les incompréhensions en être humains, (nous ne sommes pas encore des machines dieu, merci et que l'on ne se comprennent pas toujours me rassure un peu).

PS. J'adore vos interventions



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Exercice mais...
il y a cinq semaines
Bonsoir,
bon du coup l'exercice est en voie d'être résolu !

@reuns
je vous ai compris !
je n'avais pas fait attention au fait qu'avec des fractions égyptiennes bien décomposées les dénominateurs sont des 1.

Il ne me reste plus qu'à comprendre l'origine du 3... dans le cas $n=4$ mais dans 3 ou 4 jours je serait au point.

PS: je ne suis pas très doué en multitasking... mais j'ai pour le moment envie de faire encore d'autres choses aussi.
néanmoins l'expression $(x_4-1)/x_4$ a quelque chose de très séduisant dans le cas $n=4$ qui me suggère une récurrence rigolote, d'ordre 3 (ou 2.. je re-verrai ceci car je le sais déjà et ça ne sera que la 10ème fois ou je teste l'ordre de cette homographie, mais ça n'a pas trop l'air d'être une involution (et puis l'ordre emoi... enfin vous savez ça viendra) il me semble en tant qu'homographie.

[le chaos engendre titans et dieux dans la mythologie grecque et c'est un truc qui est cool et ceci n'est pas du cabotinage]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par callipiger.
Re: Exercice mais...
il y a quatre semaines
Bonsoir,
pour m'amender:
il ne fallait pas travailler sur l'hypercube

l'ensemble des solutions est en bijection avec les $\mathbb{N}^*$ cônes engendré par les hyperplans qui coupent les les axes en des coordonnées entières strictement positives qui passent par le point $z$ dont la somme des coordonnées est n.
avec dans le cas $n=0[3]$, $z=(3,3,3.....,3)$ que des 3.
avec dans le cas $n=1[3]$, $z=(2,2,3.....,3)$ que des 3.
avec dans le cas $n=2[3]$, $z=(2,3,3.....,3)$ que des 3.
ceci vient de "oraux x-ens algèbre 1" l'exercice 1.10
à permutation des coordonnées près.

je crois..
est ce-que c'est une solution?
( je ne suis plus à une erreur près...)



Edité 5 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par callipiger.
Re: Exercice mais...
il y a quatre semaines
AitJoseph écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Bonsoir,
quelle est la solution car si ce que j'ai fait est juste (est-ce que c'est juste ???),
je voudrais savoir, je reste quand même sur ma faim... parce-que au final je suis conscient que parcourir les axes de coordonnées un à un en partant des sommets "maximaux" demande du temps en calcul... et ce n'est peut-être pas la bonne réponse.
M
erci bonne soirée.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a quatre semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Exercice mais...
il y a deux jours
Oui l'exercice possède bel et bien une solution.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de hier, 12:03 et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AitJoseph.
Re: Exercice mais...
il y a huit heures
C'est à peu près évident que tu n'as pas de solution AitJoseph
Re: Exercice mais...
il y a six heures
C'est très évident que tu n'as pas pu le résoudre reuns
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