$x^4+y^4$ est sans carré

Tonm
Tonm
dans Arithmétique
Salut, est-ce que c'est vrai que $x^4+y^4$ est sans facteurs carrés
$x $ et $y$ $>0$ premiers entre eux.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Que penses-tu de 8^4+13^4 ?

    Cordialement.

    NB : La décomposition (très classique) de X^4+Y^4 dans $\mathbb R(X)$ montre que ce polynôme est sans facteurs carrés. Mais c'est différent de la question que tu as posée.
  • Tonm
    Tonm
    Oui merci, le $ 17$ parrait dans d'autres couples assez fréquent, !
    $(3,7), (5,7)$, $(4,9)$ puis-je avoir un exemple sans le $17$ comme facteurs carré si vous voulez?

    Cordialement.
  • gerard0
    gerard0
    Utilise un logiciel de calcul exact pour chercher. Tu peux le faire seul, comme je l'ai fait pour trouver ce contre exemple (j'ai du temps, je n'ai même pas programmé, j'ai fait des essais à la main avec un logiciel qui factorise les entiers).
  • Tonm
    Tonm
    Bon disons je suis à peu près à la main si on en trouve autre que $17$ on quitte, Merci.
  • jandri
    jandri
    $2^4+13^4=17\times 41^2$.

    Sans le $17$ il faut aller plus loin: $11^4+32^4=113\times 97^2$ ou bien $18^4+31^4=193\times 73^2$.
  • Tonm
    Tonm
    Trés bien (tu)
    Merci.
  • nodgim
    nodgim
    Je note que les carrés trouvés sont ceux dont la racine est un nombre premier de la forme 8n+1.
  • Tonm
    Tonm
    Trés bien voilà la conjecture : Tout facteur impair de $x^{n}+y^{n}$ est de la forme $2ni\pm1$? (infaisable) $x $ premier avec $y$
    J'aime savoir si tout facteur de $x^2+y^2$ est un $4i+1$ si $x$ premier avec $y$
    Cordialement
  • Tonm
    Tonm
    Il est prouvé que $x^{2^n}+y^{2^n}$ à seulement des facteurs impairs $2^{n+1}k+1$ si $x$ et $y$ premiers entre eux, est-ce ça implique quelque chose en tant que tester la primalité des $F_n$

    Merci
    Oula la il fallait que je cherche avant c'est connu.
  • marco
    marco
    $2^9+3^9=20195$, donc est divisible par $5$ qui n'est pas de la forme $18k+1$ ou $18k-1$.
  • Tonm
    Tonm
    (tu) c'est pour les puissances $2^n$
    Cordialement.
  • reuns
    reuns
    On conjecture qu'il existe aucun polynôme $\in \Bbb{Z}[x]$ non constant tel que pour tout $n, f(n)$ est sans facteur carré

    La conjecture sur la densité de $n$ tels que $\mu(f(n)) = 0$ est du même type que celle sur la densité de $n$ tels que $f(n)$ est premier
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