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Fonctions L

Envoyé par cargol 
Fonctions L
il y a six semaines
avatar
Bonjour, il me semble que l'étude analytique d'une série $L$ du type $\sum \dfrac{f(n)}{n^s}$ avec $f: \N^* \to \C$ permet d'obtenir une info sur $\sum_{n \leq x} f(n)$ pour $x$ grand...
Pourriez-vous me citer quelques résultats de ce type ?
Merci



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: fonctions L
il y a six semaines
C'est exact.

Le lien entre les deux se fait via l'intégrale de Perron, dont on a déjà pas mal parlé sur ce forum (une recherche permet d'y accéder).
Re: fonctions L
il y a six semaines
Autre résultat basique, mais très utilisé quand on veut une majoration rapide, obtenu essentiellement à l'aide d'une sommation d'Abel.

Supposons que $f(n) \geqslant 0$ et soit $\sigma_0 > 0$. Alors, si $L(s,f) := \sum_{=1}^\infty f(n) n^{-s}$, on a l'équivalence
$$L(s,f) \ \textrm{converge pour} \ \sigma > \sigma_0 \Longleftrightarrow \sum_{n \leqslant x} f(n) \ll x^{\sigma_0 + \varepsilon}$$
pour tout $\varepsilon > 0$ et tout $x$ suffisamment grand.
Re: fonctions L
il y a six semaines
avatar
merci noix de totos
Re: Fonctions L
il y a six semaines
De rien.

À noter : impossible d'ôter le $\varepsilon$ dans le résultat précédent (un contre-exemple n'est pas trop dur à trouver, et c'est un bon exercice).
Re: Fonctions L
il y a six semaines
Alors là pour le coup j'ai cherché "Perron" et "Intégrale de Perron" sur le forum et il me donne "aucun résultat".

Ah la la... les références de noix de totos ne sont plus ce qu'elles étaient grinning smiley
Re: Fonctions L
il y a six semaines
OK. Je (re)donnerai le théorème cet après-midi...sauf si quelqu'un d'autre s'en charge avant.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par noix de totos.
Re: Fonctions L
il y a cinq semaines
Je rigolais hein !
Re: Fonctions L
il y a cinq semaines
[www.les-mathematiques.net] il doit y en avoir plein d'autres



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq semaines et a été effectuée par reuns.
Re: Fonctions L
il y a cinq semaines
c'est tombé au concours ENS de cette année [www.ens.fr]
Re: Fonctions L
il y a cinq semaines
J'ai regardé (rapidement) le sujet ENS fourni par toutoune, il n'y a pas la sommation de Perron dedans, uniquement les outils dits "élémentaires", comme la sommation partielle ou le principe de l'hyperbole de Dirichlet.

Même si Light* blaguais, voici une version (parmi beaucoup d'autres, et plus générale que celle donnée dans le lien de reuns), de ce que l'on appelle formule de sommation de Perron et qui, depuis Riemann et, surtout Hadamard et de la Vallée Poussin, est d'un usage constant en arithmétique.

Dans ce qui suit, $f : \mathbb{Z}_{\geqslant 1} \to \mathbb{C}$ est une fonction arithmétique quelconque, $L(s,f) := \sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s}$ où $s = \sigma + it \in \mathbb{C}$ sa série de Dirichlet d'abscisse de convergence absolue $\sigma_a $.

Prop. Si $\kappa > \max (0,\sigma_a)$ et pour tous $x,T \geqslant 1$
$$\sum_{n\leqslant x} f(n) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\kappa -iT}^{\kappa +iT} L(s,f) \, x^s \, \frac{\mathrm{d}s}{s} + E(x) + O \left\{ \sum_{\substack{x/2<n<2x \\ n \neq x}} |f(n)| \min \left( 1,\frac{x}{T|x-n|} \right) + \frac{x^\kappa}{T} \sum_{n=1}^\infty \frac{|f(n)|}{n^\kappa} \right\}$$
où $E(x) = \frac{1}{2} f(x)$ si $x$ est entier et $E(x) = 0$ sinon.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a cinq semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
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