Fonctions L

Autre résultat basique, mais très utilisé quand on veut une majoration rapide, obtenu essentiellement à l'aide d'une sommation d'Abel.

Supposons que $f(n) \geqslant 0$ et soit $\sigma_0 > 0$. Alors, si $L(s,f) := \sum_{=1}^\infty f(n) n^{-s}$, on a l'équivalence
$$L(s,f) \ \textrm{converge pour} \ \sigma > \sigma_0 \Longleftrightarrow \sum_{n \leqslant x} f(n) \ll x^{\sigma_0 + \varepsilon}$$
pour tout $\varepsilon > 0$ et tout $x$ suffisamment grand.

De rien.

À noter : impossible d'ôter le $\varepsilon$ dans le résultat précédent (un contre-exemple n'est pas trop dur à trouver, et c'est un bon exercice).

OK. Je (re)donnerai le théorème cet après-midi...sauf si quelqu'un d'autre s'en charge avant.

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1816108,1816126#msg-1816126 il doit y en avoir plein d'autres

J'ai regardé (rapidement) le sujet ENS fourni par toutoune, il n'y a pas la sommation de Perron dedans, uniquement les outils dits "élémentaires", comme la sommation partielle ou le principe de l'hyperbole de Dirichlet.

Même si Light* blaguais, voici une version (parmi beaucoup d'autres, et plus générale que celle donnée dans le lien de reuns), de ce que l'on appelle formule de sommation de Perron et qui, depuis Riemann et, surtout Hadamard et de la Vallée Poussin, est d'un usage constant en arithmétique.

Dans ce qui suit, $f : \mathbb{Z}_{\geqslant 1} \to \mathbb{C}$ est une fonction arithmétique quelconque, $L(s,f) := \sum_{n=1}^\infty f(n) n^{-s}$ où $s = \sigma + it \in \mathbb{C}$ sa série de Dirichlet d'abscisse de convergence absolue $\sigma_a $.

Prop. Si $\kappa > \max (0,\sigma_a)$ et pour tous $x,T \geqslant 1$
$$\sum_{n\leqslant x} f(n) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\kappa -iT}^{\kappa +iT} L(s,f) \, x^s \, \frac{\mathrm{d}s}{s} + E(x) + O \left\{ \sum_{\substack{x/2<n<2x \\ n \neq x}} |f(n)| \min \left( 1,\frac{x}{T|x-n|} \right) + \frac{x^\kappa}{T} \sum_{n=1}^\infty \frac{|f(n)|}{n^\kappa} \right\}$$
où $E(x) = \frac{1}{2} f(x)$ si $x$ est entier et $E(x) = 0$ sinon.