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Pgcd du produit et de la différence

Envoyé par Notname 
Pgcd du produit et de la différence
il y a quatre mois
Bonjour, premièrement excusez-moi du titre pgcd du produit et de la différence de deux nombres premiers distincts étaient trop long.
Je n'arrive pas à démontrer la propriété suivante.

Soit p et q deux nombre premiers distincts on a : pgcd(p-q, pq) =1 par exemple pour 101 et 5 on a bien pgcd(505,96) =1. J'ai tenté une démonstration par l'absurde en utilisant l'identité de zout mais je n'y arrive pas.
Merci pour toutes réponses.

[Étienne Bézout (1730-1783) prend toujours une majuscule. AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: pgcd du produit et de la différence
il y a quatre mois
bonsoir,

ce pgcd est un diviseur de $pq$.
Les seuls diviseurs de $pq$ sont $1, p, q, pq$.
ça n'est ni $p$, ni $q$, ni $pq$ car aucun de ces entiers ne divise $p-q$ (pourquoi ?)

donc ce pgcd est 1.
Re: pgcd du produit et de la différence
il y a quatre mois
Merci beaucoup. C'est simple et expéditif.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
GG
Re: pgcd du produit et de la différence
il y a quatre mois
ou encore :

Soit d un diviseur de pq et de p-q

d | pq + p (p-q)
d | pq - q (p-q)

d | p2, q2
d | (p2, q2 )

(p2, q2 ) = (p, q)2 = 1

d = 1

(p et q n'ont pas besoin d'être premiers, mais seulement premiers entre eux)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par GG.
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