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Le plus petit entier et divisibilité par 2015

Envoyé par OUCHICK 
Le plus petit entier et divisibilité par 2015
il y a deux mois
trouver le plus petit entier $n$ tel que $3^{n}- 2^{n}$ $\;\;$ soit divisible par $2015$
Re: Le plus petit entier et divisibilité par 2015
il y a deux mois
sage: k = 1
sage: a, b = 3,2
sage: while a!=b:
....:     k+= 1
....:     a, b = (3*a)%2015, (2*b)%2015
....:     
sage: k
60
sage: (3^60-2^60)%2015
0
Re: Le plus petit entier et divisibilité par 2015
il y a deux mois
Trouver le plus petit entier tel que $3^n - 2^n$ soit divisible par $5^{500}$,

pareil pour $13^{500}$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par reuns.
Re: Le plus petit entier et divisibilité par 2015
il y a deux mois
Ça ne passe pas sans réfléchir.
Re: Le plus petit entier et divisibilité par 2015
il y a deux mois
Pour la divisibilité par 2015 = 5 * 13 * 31, on regarde les valeurs égales de 2^n et 3^n modulo 5,13 et 31. Pour 5 et 13 : n =4 et pour 31 n = 15. D'où la valeur trouvée par Math Coss : 4*15 = 60.
Re: Le plus petit entier et divisibilité par 2015
il y a deux mois
$p= 13$,

$3^n - 2^n \equiv 0 \bmod p$ ssi $4 | n$,

$u = 3^{4}/2^{4} \equiv 1+ 6p \bmod p^2$,

pour $l \ge 2, p^{m+2} | {p^m \choose l} p^l$

donc $u^{p^m} \equiv (1+p(6+r p))^{p^m} = 1+ p^{m+1}(6+r p)+\sum_{l=2}^m {p^m \choose l} p^l(6+r p)^l \equiv 1+ 6 p^{m+1} \bmod p^{m+2}$

et $u$ est d'ordre $p^{k-1}$ modulo $p^k$.

Et donc $3^{4n}- 2^{4n} \equiv 0 \bmod p^k$ ssi $u^n \equiv 1 \bmod p^k$ ssi $p^{k-1} | n$.
Re: Le plus petit entier et divisibilité par 2015
il y a deux mois
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