Le plus petit entier et divisibilité par 2015
dans Arithmétique
trouver le plus petit entier $n$ tel que $3^{n}- 2^{n}$ $\;\;$ soit divisible par $2015$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
pareil pour $13^{500}$
$3^n - 2^n \equiv 0 \bmod p$ ssi $4 | n$,
$u = 3^{4}/2^{4} \equiv 1+ 6p \bmod p^2$,
pour $l \ge 2, p^{m+2} | {p^m \choose l} p^l$
donc $u^{p^m} \equiv (1+p(6+r p))^{p^m} = 1+ p^{m+1}(6+r p)+\sum_{l=2}^m {p^m \choose l} p^l(6+r p)^l \equiv 1+ 6 p^{m+1} \bmod p^{m+2}$
et $u$ est d'ordre $p^{k-1}$ modulo $p^k$.
Et donc $3^{4n}- 2^{4n} \equiv 0 \bmod p^k$ ssi $u^n \equiv 1 \bmod p^k$ ssi $p^{k-1} | n$.