Le plus petit entier et divisibilité par 2015

sage: k = 1
sage: a, b = 3,2
sage: while a!=b:
....:     k+= 1
....:     a, b = (3*a)%2015, (2*b)%2015
....:     
sage: k
60
sage: (3^60-2^60)%2015
0

Ça ne passe pas sans réfléchir.

$p= 13$,

$3^n - 2^n \equiv 0 \bmod p$ ssi $4 | n$,

$u = 3^{4}/2^{4} \equiv 1+ 6p \bmod p^2$,

pour $l \ge 2, p^{m+2} | {p^m \choose l} p^l$

donc $u^{p^m} \equiv (1+p(6+r p))^{p^m} = 1+ p^{m+1}(6+r p)+\sum_{l=2}^m {p^m \choose l} p^l(6+r p)^l \equiv 1+ 6 p^{m+1} \bmod p^{m+2}$

et $u$ est d'ordre $p^{k-1}$ modulo $p^k$.

Et donc $3^{4n}- 2^{4n} \equiv 0 \bmod p^k$ ssi $u^n \equiv 1 \bmod p^k$ ssi $p^{k-1} | n$.