Nombre premier ?
Bonjour,
Si pour tout $(a,b) \in \Z^2$ : $$(a+b)^n \cong a^n +b^n \mod(n)$$ alors $n$ est-il premier ?
Merci,
CFGauss
PS: je pense que non car $a^n \cong a \mod(n)$ n'implique pas $n$ premier (nombres de Carmichaël).
Si pour tout $(a,b) \in \Z^2$ : $$(a+b)^n \cong a^n +b^n \mod(n)$$ alors $n$ est-il premier ?
Merci,
CFGauss
PS: je pense que non car $a^n \cong a \mod(n)$ n'implique pas $n$ premier (nombres de Carmichaël).
Réponses
-
Et si : $$(a+b)^n\cong a^n+b^n \mod (n^2)$$ $n$ est-il premier ?
-
Expérimentalement, cela ne semble jamais arriver.
-
Peut-être qu'il existe $a,b$ non triviaux tels que cela impliquerait $n$ premier? Par exemple $2,1$ pour $3$.
-
Soit $n$ fixé, quels sont les $a,b$ non triviaux tels que : $$(a+b)^n \cong a^n +b^n \mod (n^2)$$??? En existe-t-il toujours?
-
supp
-
supp
-
il me semble que si $\forall a \in \mathbb Z, a^n \mod n=a \mod n$ alors $n$ est premier.
-
Non, c'est le problème qui donne lieu à la notion évoquée par Gauss de nombre de Carmichael.
Plus petit exemple : $561=3\times11\times 17$. -
citation wiki : pour tout entier $a$ premier avec $n$, $n$ est un diviseur de $a^n - a$
-
De plus, un tel n divise tous les a^n – a (même pour a non premier à n).
Autant pour moi.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres