Nombre premier ?

CarlFriedrichGauss
CarlFriedrichGauss
dans Arithmétique
Bonjour,
Si pour tout $(a,b) \in \Z^2$ : $$(a+b)^n \cong a^n +b^n \mod(n)$$ alors $n$ est-il premier ?
Merci,
CFGauss
PS: je pense que non car $a^n \cong a \mod(n)$ n'implique pas $n$ premier (nombres de Carmichaël).

Réponses

  • CarlFriedrichGauss
    CarlFriedrichGauss
    Et si : $$(a+b)^n\cong a^n+b^n \mod (n^2)$$ $n$ est-il premier ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Expérimentalement, cela ne semble jamais arriver.
  • CarlFriedrichGauss
    CarlFriedrichGauss
    Peut-être qu'il existe $a,b$ non triviaux tels que cela impliquerait $n$ premier? Par exemple $2,1$ pour $3$.
  • CarlFriedrichGauss
    CarlFriedrichGauss
    Soit $n$ fixé, quels sont les $a,b$ non triviaux tels que : $$(a+b)^n \cong a^n +b^n \mod (n^2)$$??? En existe-t-il toujours?
  • side
    side
    supp
  • lourrran
    lourrran
    @Side :
    Si pour TOUT couple (a,b), on a l'égalité proposée, alors on conjecture que n est premier.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • side
    side
    supp
  • zartisant
    zartisant
    il me semble que si $\forall a \in \mathbb Z, a^n \mod n=a \mod n$ alors $n$ est premier.
  • Math Coss
    Math Coss
    Non, c'est le problème qui donne lieu à la notion évoquée par Gauss de nombre de Carmichael.
    Plus petit exemple : $561=3\times11\times 17$.
  • zartisant
    zartisant
    citation wiki : pour tout entier $a$ premier avec $n$, $n$ est un diviseur de $a^n - a$
  • zartisant
    zartisant
    De plus, un tel n divise tous les a^n – a (même pour a non premier à n).

    Autant pour moi.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 29

AlexiqueCidrolinJLTLOU16Médiat_SuprèmeVassilliagerard0stfj +21 Invités