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Nombre premier ?

Envoyé par CarlFriedrichGauss 
Nombre premier ?
il y a trois mois
Bonjour,
Si pour tout $(a,b) \in \Z^2$ : $$(a+b)^n \cong a^n +b^n \mod(n)$$ alors $n$ est-il premier ?
Merci,
CFGauss
PS: je pense que non car $a^n \cong a \mod(n)$ n'implique pas $n$ premier (nombres de Carmichaël).



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Nombre premier?
il y a trois mois
Et si : $$(a+b)^n\cong a^n+b^n \mod (n^2)$$ $n$ est-il premier ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par CarlFriedrichGauss.
Re: Nombre premier?
il y a trois mois
Expérimentalement, cela ne semble jamais arriver.
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
Peut-être qu'il existe $a,b$ non triviaux tels que cela impliquerait $n$ premier? Par exemple $2,1$ pour $3$.
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
Soit $n$ fixé, quels sont les $a,b$ non triviaux tels que : $$(a+b)^n \cong a^n +b^n \mod (n^2)$$??? En existe-t-il toujours?
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
Bonjour

$(10+10)^{10} =10^{10} +10^{10} =0 \pmod {10^2}$ et $10$ n'est pas premier.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
@Side :
Si pour TOUT couple (a,b), on a l'égalité proposée, alors on conjecture que n est premier.
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
Ah OK, je n'avais pas compris la question.
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
il me semble que si $\forall a \in \mathbb Z, a^n \mod n=a \mod n$ alors $n$ est premier.
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
Non, c'est le problème qui donne lieu à la notion évoquée par Gauss de nombre de Carmichael.
Plus petit exemple : $561=3\times11\times 17$.
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
citation wiki : pour tout entier $a$ premier avec $n$, $n$ est un diviseur de $a^n - a$
Re: Nombre premier ?
il y a trois mois
De plus, un tel n divise tous les a^n – a (même pour a non premier à n).

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