Premiers de la forme $x^2+ny^2$
dans Arithmétique
Bonjour,
J'ai l'équation suivante: x2+n*y2=p, avec p=4*z+1 qui est un nombre premier et (n , p) premiers entre eux et (x , y) premiers entre eux.
Question. Est-ce que pour une valeur donnée n>1, il existe une infinité de nombres premiers générés par x2+n*y2 ?
En effet, si n=1, c'est le cas car on p=4*z+1=X2+Y2. Est-ce identique pour n différent de 1 ?
Merci.
J'ai l'équation suivante: x2+n*y2=p, avec p=4*z+1 qui est un nombre premier et (n , p) premiers entre eux et (x , y) premiers entre eux.
Question. Est-ce que pour une valeur donnée n>1, il existe une infinité de nombres premiers générés par x2+n*y2 ?
En effet, si n=1, c'est le cas car on p=4*z+1=X2+Y2. Est-ce identique pour n différent de 1 ?
Merci.
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Réponses
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[Un nom propre prend toujours une majuscule ! AD]
je tente quelque chose ici, et si quelqu'un a une idée qui correspond ou infirme la démarche, ne pourrait-on pas se ramener aux entiers de Gauss (eux répondent à la question $n=1$), puis utiliser une affinité en une direction, ou un produit d'affinités de même direction dont les rapports seraient des racines carrées des facteurs de $n$ sans facteurs carrés en passant ainsi de suite de croissante de $\mathbb{Q}$ e-v espaces vectoriels de dimension 2 dont la classe des points dont les coordonnées sont des entiers algébriques qui répondent à la question, jusqu'à obtenir l'infinité de point souhaitée à la fin... ?
(ou quelque chose ressemblant à ça)
Si $n \in \Bbb{Z}$ a des facteurs carrés mais n'est pas un carré alors ce n'est pas le corps de Hilbert de $K=\Bbb{Q}(\sqrt{n})$ qu'il faut regarder mais le "ring class field" $F_n$ (l'unique extension abélienne $F_n/K$ dont le Artin map est donné par un isomorphisme $I_{O_n} \to Gal(F_n/K)$) car le groupe des classes d'idéaux de $O_n$ est plus gros que celui de $O_K$.
Et $\pm p = x^2-ny^2 $ est la norme de $x+\sqrt{n} y \in O_n$ ssi $p$ est totalement décomposé dans $F_n$ (que $Frob_{p,F_n}= 1$ implique que $Frob_{p,K} = 1$ et que $p O_n = \mathfrak{p}_1\mathfrak{p}_2$ où la classe de $R$-idéal de $\mathfrak{p}_1,\mathfrak{p}_2$ est principale).
On sait qui'il y a une infinité de tels $p$ totalement décomposés dans $F_n$ car la fonction zeta de Dedekind $\zeta_{F_n}$ a une singularité en $s=1$.
Si $n \not \equiv 3 \pmod 4$, le corps de classes d'Hilbert $K(1)$ de $K = \mathbb{Q} (\sqrt{-n})$ est le bon outil via l'équivalence
$$p = x^2+ny^2 \Longleftrightarrow p \in \textrm{Spl} \left( K(1)/\mathbb{Q} \right)$$
où $p > 2$ est premier tel que $p \nmid n$. On a ensuite des outils permettant de caractériser les premiers qui se décomposent dans des extensions d'un corps quadratique imaginaire.
En revanche, si $n \equiv 3 \pmod 4$, alors $\mathbb{Z}[\sqrt{-n}]$ n'est plus nécessairement l'ordre maximal de $K$, et il faut une généralisation du corps de classes d'Hilbert. Comme le dit reuns, on fait alors appel à la théorie du corps de classes pour construire une extension abélienne $L$ de $K$ à partir d'un ordre $\mathcal{O}$ de conducteur $f$ de $K$ (i.e. un $\mathbb{Z}$-module libre de rang $2$ contenant $1$), telle que tout premier de $K$ qui se ramifie dans $L$ divise $f \mathcal{O}_K$ et telle que $\textrm{Gal}(L/K) \simeq \textrm{Cl}(\mathcal{O})$.
Cette extension porte le nom de ring class field (pas simple à traduire, Aurelpage pourrait peut-être nous en dire plus) de $\mathcal{O}$, et permet de récupérer l'équivalence ci-dessus en remplaçant $K(1)$ par $L$.
Si $d < 0$ alors $F_n = \Bbb{Q}(j(\sqrt{d}), \{ x_P, P \in E, m P = \infty\})$ où $E/ \Bbb{Q}(j(\sqrt{d})) : y^2 = x^3+c_4(\sqrt{d})x+c_6(\sqrt{d})$ est une courbe elliptique isomorphe à $\Bbb{C}/(\Bbb{Z} + \sqrt{d} \Bbb{Z})$ avec CM par $O_K$
@Poirot @reuns @noix de totos
merci pour ces précisions, je pose la question pour "plus tard" :
et question naïve de ma part [small](vous avez bien vu que je ne me préoccupe que de l'aspect "vectoriel" ou "module" sans préserver la structure des unités donc "l'arithmétique")[/small]:
n'y aurait-il pas de structures qui engloberait toutes les classes d'entiers ? pour avoir une autre structure qui contiendrait "tous les Idéaux "
bon je demande ceci en fait:
"est ce que le "class ring" de la clôture algébrique de $\mathbb{Q}$ est quelque chose qui existe et sur lequel un travail a été fait ?"
merci
Pour ta première question, il y a le groupe des classes d'idéaux (fractionnaires). Si ce groupe est trivial, on passe des idéaux aux entiers modulo les unités, qui forment un groupe abélien de rang connu (théorème des unités de Dirichlet).
On prend $n \geqslant 2$, $K = \mathbb{Q} (\sqrt{-n})$, $\mathcal{O} = \mathbb{Z} [\sqrt{-n}]$ de nombre de classes $h_{\mathcal{O}}$. On prend aussi un représentant $\mathfrak{a}$ d'une classe inversible d'idéaux fractionnaires de $\mathcal{O}$. Alors l'extension
$$L=K \left(j(\mathfrak{a}) \right)$$
est le ring class field de $\mathcal{O}$, de polynôme associé
$$H_{\mathcal{O}} = \prod_{k=1}^{h_{\mathcal{O}}} \left( X - j(\mathfrak{a}_k) \right) \in \mathbb{Z}[X]$$
où $\mathfrak{a}_1, \dotsc $ sont les représentants de classes inversibles d'idéaux fractionnaires de $\mathcal{O}$.
On a alors les équivalences, avec $p \nmid n$ :
\begin{align*}
p = x^2+ny^2 & \Longleftrightarrow p \in \textrm{Spl} \left( L/ \mathbb{Q} \right) \\
& \Longleftrightarrow (-n/p) = 1 \ \textrm{et} \ H_{\mathcal{O}}(x) \equiv 0 \; (\bmod \, p) \ \textrm{est résoluble}.
\end{align*}
Merci à tous pour vos réponses.
Voici les formules que j'ai:
X2 +/- |n|*Y2 avec X=Y*(2*x+5)+/-1 et Y=2*y donc X,Y sont premiers entre eux et x,y sont des entiers relatifs.
Question: peut-on appliquer les théorèmes démontrant que ces formules génèrent bien une infinité de nombres premiers alors que le couple (X,Y) est différent de Z2 ?
merci par avance pour vos réponses.
(2y(2x+5) \pm 1)^2 \pm n 4y^2 &= 4y^2(4x^2 + 20x + 25) \pm 4y(2x+5) + 1 \pm 4ny^2 \\
&=16x^2y^2 + 80xy^2 \pm 8xy +(100\pm 4n) y^2 \pm 20y+1.
\end{align*} Ça m'étonnerait fortement que l'on sache montrer l'existence d'une infinité de nombres premiers de cette forme, sauf s'il y a une réduction astucieuse que je ne vois. C'est déjà difficile de montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme $x^2+y^4$, alors là...