Addition dans Q

Orange75
Orange75
dans Arithmétique
Bonjour,

Lorsque l’on construit l’ensemble des rationnels Q, on définit l’addition de la manière suivante : pour tous a, b, c, d, avec b et d non-nuls, a/b + c/d = (ba + cd)/(bd). Cette addition repose sur le fait que a/n + b/n = (a + b)/n (*), pour tout entier n non-nul, ainsi que (ka)/(kb) = a/b pour tout entier k non-nul (grâce à une relation classique d’équivalence avec laquelle on définit les classes d’équivalence). Elle induit aussi les propriétés de la multiplication dans Q que l’on définit après. Mais tout part du fait que (*) fonctionne. Je voulais alors savoir d’où venait exactement (*) ? Est-elle établie car elle se vérifie géométriquement** ? Ou y a-t-il une preuve arithmétique de ce résultat, c’est-à-dire du fait que, diviser (au sens premier du terme) une somme de deux entiers par n (entier non-nul) revient à sommer les divisons respectives par n de ces deux entiers [il s’agit bien de voir (*) comme (a÷n) + (b÷n) = (a + b)÷n]. C’est pour savoir à quel point l’ensemble des rationnels est défini à partir d’une vision intuitive de ses éléments.

Une personne m’a répondu que cette propriété découlait des axiomes des Éléments d’Euclide, et de la théorie des proportions. Mais je ne trouve pas sur Internet d’articles en venant à cette conclusion explicitement. Quelqu’un aurait-il un document qui apporte les éléments nécessaires dont découle cette propriété ?

**par exemple, en imaginant un rectangle de hauteur 1 et de longueur a et un autre de hauteur 1 encore et de longueur b, en mettant côte à côte ces deux-ci, on voit que l’en divisant par n et l’un et l’autre, cela revient à diviser par n le rectangle somme de hauteur 1 et de longueur (a + b) ;

Merci :)

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    On n'a pas le choix pour définir une addition dans $\Q$ qui a les deux propriétés suivantes :
    • elle étend l'addition des entiers (et il y a un opposé, $0$ est neutre, et elle est associative) ;
    • la multiplication est distributive sur l'addition.
    Il n'est pas si extravagant que ces deux propriétés sont souhaitables.

    Supposons savoir ce qu'est $\Q$ : ses éléments peuvent être représentés par des « fractions » de la forme $a/b$ avec $a$ et $b$ entiers et $b$ non nul et on a l'équivalence : $a/b=c/d$ si et seulement si $ad=bc$. Voici quelques conséquences faciles.
    On définit alors la multiplication par $(a/b)\cdot(c/d)=(ac)/(bd)$ (on vérifie que cela a un sens).
    On vérifie alors que pour un rationnel $r$, on a l'équivalence : $br=a$ si et seulement si $r=a/b$. En effet, si $r=c/d$, l'égalité $br=a$ équivaut à $bc/d=a$ ou encore à $ad=bc$, c'est-à-dire $r=c/d=a/b$.
    On peut alors affirmer que $\Q$ contient $\Z$. Plus précisément, dans $\Q$, l'entier $a$ s'identifie à la fraction $a/1$. [En fait, il est immédiat que si $a/1=c/1$, alors $a=c$, ce qui signifie que l'application $\Z\to\Q$, $a\mapsto a/1$ est injective.]

    Dans ces conditions, montrons que s'il existe une addition compatible avec les propriétés requises, c'est celle que l'on veut. Soient $r=a/b$ et $s=c/d$ deux rationnels, que peut être leur somme $t=r+s$ ? On remarque que \[bdt=bd(r+s)=bdr+bds=d(br)+b(ds)=da/1+bc/1=ad+bc,\] et cela entraîne que $t=(ad+bc)/(bd)$.
  • Héhéhé
    Héhéhé
    Si on prend comme définition informelle qu'un rationnel $r$ est solution de l'équation $br=a$ (ici $r=a/b$), on peut observer que si $r$ et $r'$ sont deux rationnels
    \begin{align*}
    br&=a \\
    b'r'&=a'
    \end{align*} alors en multipliant la première équation par $b'$ et la deuxième par $b$ et en additionnant
    \begin{align*}
    bb'(r+r')&=ab'+a'b &\text{ce qui montre que} \\
    r+r' &= \frac{ab'+a'b}{bb'}
    \end{align*}
  • gerard0
    gerard0
    Le conseil qui t'a été donné est de lire les "éléments" d'Euclide. Tu n'as pas eu le temps de lire les 3 premiers livres des éléments, donc tu ne tiens pas compte des avis qu'on te donne.
    Le message de maths Coss reprend ce qui t'a déjà été dit à plusieurs reprises sur ce forum ou un autre (*). Mais comme tu ne tiens pas compte de ce qu'on t'écrit, tu vas reposer la question combien de fois ?

    A la base, l'idée intuitive des fractions est historiquement connue depuis deux ou trois millénaires. La théorisation de la construction des rationnels n'est que la reprise de "ce que tout le monde sait". Et c'est bien plus simple que ce que tu essaie de faire.

    Cordialement.

    "Pourquoi faire simple quand on peut compliquer ?"

    (*) et Héhéhé te répète ce qu'il t'a déjà dit !!
  • reuns
    reuns
    Si tu veux une raison pour montrer "qu'on ne peut pas faire autrement"

    $\Bbb{Z}$ est un groupe abélien et $End(\Bbb{Z}) $ est l'anneau $\Z$.

    $\Bbb{Q}$ est le plus petit groupe abélien contenant $\Bbb{Z}$ tel que pour tout $n$, $\underbrace{x+ \ldots +x}_n=1$ a une (unique) solution $x \in \Bbb{Q}$.

    Alors $End(\Bbb{Q}) $ est l'anneau $\Q$.
  • Orange75
    Orange75
    Très bien, d’accord. Merci à tous et bonne soirée !
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