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Critère de factorisation nombres de Mersenne

Envoyé par Ahpa Tsum 
Critère de factorisation nombres de Mersenne
le mois dernier
Bonjour à tous,
j'étais bloqué sur une question, s'il vous plaît une piste pour commencer.

Soit p un nombre premier de la forme $4k+3$ avec $k \in\N^*$,
montrer que : $2^{\tfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^{k+1} \pmod p$.


[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. winking smiley AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Critère de factorisation nombres de Mersenne
le mois dernier
avatar
Bonjour,

Il manque le modulo, non ?
Essaie de remplacer $p$ par son expression et regarde ou essaie une récurrence.
Re: Critère de factorisation nombres de Mersenne
le mois dernier
Ah oui, je n'ai pas fait attention. Merci YvesM
J'ai déjà essayé la récurrence, mais il ne semble pas qu'elle va marcher.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par AD.
Re: Critère de factorisation nombres de Mersenne
le mois dernier
Difficile de faire une récurrence sur un entier premier : p+1 ne l'est pas.

On peut penser au petit théorème de Fermat.

Cordialement.
Re: Critère de factorisation nombres de Mersenne
le mois dernier
$\newcommand \Legendre[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}$Loi complémentaire (pour le premier 2) de réciprocité quadratique. Pour tout premier $p \ne 2$
$$
\Legendre {2}{p} = (-1)^{p^2 - 1 \over 8}
$$
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