Critère de factorisation nombres de Mersenne
dans Arithmétique
Bonjour à tous,
j'étais bloqué sur une question, s'il vous plaît une piste pour commencer.
Soit p un nombre premier de la forme $4k+3$ avec $k \in\N^*$,
montrer que : $2^{\tfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^{k+1} \pmod p$.
[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
j'étais bloqué sur une question, s'il vous plaît une piste pour commencer.
Soit p un nombre premier de la forme $4k+3$ avec $k \in\N^*$,
montrer que : $2^{\tfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^{k+1} \pmod p$.
[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]
Réponses
-
Bonjour,
Il manque le modulo, non ?
Essaie de remplacer $p$ par son expression et regarde ou essaie une récurrence. -
Ah oui, je n'ai pas fait attention. Merci YvesM
J'ai déjà essayé la récurrence, mais il ne semble pas qu'elle va marcher. -
Difficile de faire une récurrence sur un entier premier : p+1 ne l'est pas.
On peut penser au petit théorème de Fermat.
Cordialement. -
$\newcommand \Legendre[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}$Loi complémentaire (pour le premier 2) de réciprocité quadratique. Pour tout premier $p \ne 2$
$$
\Legendre {2}{p} = (-1)^{p^2 - 1 \over 8}
$$
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Bonjour!
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