Critère de factorisation nombres de Mersenne

Bonjour à tous,
j'étais bloqué sur une question, s'il vous plaît une piste pour commencer.

Soit p un nombre premier de la forme $4k+3$ avec $k \in\N^*$,
montrer que : $2^{\tfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^{k+1} \pmod p$.


[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

Bonjour,

Il manque le modulo, non ?
Essaie de remplacer $p$ par son expression et regarde ou essaie une récurrence.

Ah oui, je n'ai pas fait attention. Merci YvesM
J'ai déjà essayé la récurrence, mais il ne semble pas qu'elle va marcher.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.

Difficile de faire une récurrence sur un entier premier : p+1 ne l'est pas.

On peut penser au petit théorème de Fermat.

Cordialement.

$\newcommand \Legendre[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}$Loi complémentaire (pour le premier 2) de réciprocité quadratique. Pour tout premier $p \ne 2$
$$
\Legendre {2}{p} = (-1)^{p^2 - 1 \over 8}
$$

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