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Critère de factorisation nombres de Mersenne

Envoyé par Ahpa Tsum 
Critère de factorisation nombres de Mersenne
il y a deux mois
Bonjour à tous,
j'étais bloqué sur une question, s'il vous plaît une piste pour commencer.

Soit p un nombre premier de la forme $4k+3$ avec $k \in\N^*$,
montrer que : $2^{\tfrac{p-1}{2}} \equiv (-1)^{k+1} \pmod p$.


[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. winking smiley AD]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Critère de factorisation nombres de Mersenne
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Il manque le modulo, non ?
Essaie de remplacer $p$ par son expression et regarde ou essaie une récurrence.
Re: Critère de factorisation nombres de Mersenne
il y a deux mois
Ah oui, je n'ai pas fait attention. Merci YvesM
J'ai déjà essayé la récurrence, mais il ne semble pas qu'elle va marcher.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Critère de factorisation nombres de Mersenne
il y a deux mois
Difficile de faire une récurrence sur un entier premier : p+1 ne l'est pas.

On peut penser au petit théorème de Fermat.

Cordialement.
Re: Critère de factorisation nombres de Mersenne
il y a deux mois
$\newcommand \Legendre[2]{\left(\frac{#1}{#2}\right)}$Loi complémentaire (pour le premier 2) de réciprocité quadratique. Pour tout premier $p \ne 2$
$$
\Legendre {2}{p} = (-1)^{p^2 - 1 \over 8}
$$
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