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$\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$

Envoyé par claude quitté 
$\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
$\def\F{\mathbb F}$Soit $p$ un premier vérifiant $p \equiv 3 \bmod 4$. Je cherche une preuve (élémentaire), un pointeur ...etc... du résultat suivant :
$$
\prod_{x \in \F_p^{*2}} \sin \left( {x\pi \over p}\right) = {\sqrt p \over 2^{(p-1)/2}}
$$
Quid si $p \equiv 1 \bmod 4$ ?
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
$$A = \prod_{x \in F_p^{*2}} \sin \left( {x\pi \over p}\right) $$

$p \equiv 3 \bmod 4$ donne que $-1$ n'est pas un carré donc

$$A (-A) = \prod_{x \in F_p^{*2}\cup - F_p^{*2} } \sin \left( {-x\pi \over p}\right) =\prod_{x \in F_p^*} \sin \left( {x\pi \over p}\right)\\ = (2i)^{ - (p-1)}\exp(-i \pi \frac{p(p-1)}{2} / p) \prod_{x=1}^{p-1} (1-\exp(-2i \pi x/p))=
-2^{1-p} \sum_{n=0}^{p-1} 1^n =-2^{1-p} p$$

D'où $A = \pm \frac{\sqrt{p}}{2^{(p-1)/2}}$ ensuite le signe est galère à trouver, problème similaire au signe des [en.wikipedia.org]



Edité 5 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par reuns.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Salut Claude, ça me fait beaucoup penser à une preuve de la loi de réciprocité quadratique par Eisenstein en utilisant la fonction sinus (les fonctions elliptiques permettant d'obtenir des loi de réciprocité supérieures). Les détails doivent se trouver dans le chapitre 8 de (l'excellent) Reciprocity Laws de Franz Lemmermeyer.



Edité 1 fois. La dernière correction date de le mois dernier et a été effectuée par Poirot.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Soit $A$ l'ensemble des carrés modulo $p$, $B$ l'ensemble des non carrés et $a=\displaystyle\prod_{x \in A} \sin \left( {x\pi \over p}\right)$, $b=\displaystyle\prod_{x\in B} \sin \left( {x\pi \over p}\right)$.

Il est bien connu que $ab=\displaystyle\prod_{x =1}^{p-1} \sin \left( {x\pi \over p}\right)=\dfrac p{2^{p-1}}$.

Comme $p\equiv 3\pmod 4$, $x$ est un carré si et seulement si $p-x$ n'est pas un carré.

On a donc $b=\displaystyle\prod_{x \in A} \sin \left( {(p-x)\pi \over p}\right)=a$.

Comme $a$ est clairement positif on en déduit $a=\dfrac{\sqrt p}{2^{(p-1)/2}}$
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
"clairement positif" ?
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
$a$ est clairement positif puisque $\sin(x)$ est positif pour $0<x<\pi$.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Ah oui j'avais en tête $\sin(2\pi x/p)$. C'est étrange de prendre comme ça les représentatifs des carrés $1 \ldots p-1$ et que ça marche



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
@Reuns, Jandri. Ok, merci. Jandri : bien connu que .. Je vais avouer que je l'ignorais (j'ai probablement vu cela quand j'étais petit mais il y a fort longtemps) ; j'ai mis la main sur le truc de manière expérimentale. Cf une AUTRE expérimentation (rien à voir) après le trait.

@Poirot Effectivement, il y a quelque chose qui ressemble à cela, cf le Cours d'Arithmétique de Serre (petit livre noir), Appendice (Autre démonstration de la loi de réciprocité quadratique d'après Eisenstein) p. 18-21 avec un lemme trigonométrique en bas de la page 19. Je dois avouer (bis) qu'à chaque fois que je voyais une preuve de la loi de réciprocité à coup de sinus, je me barrais en courant.

Un truc expérimental (je n'ai PAS encore réfléchi). Je prends un discriminant quadratique fondamental $D_0 < 0$ (je ne sais pas si c'est important), un entier $f \ge 1$ et $D = f^2 D_0$. Et je pose :
$$
\Gamma_{D_0} = \prod_{m=1}^{|D_0|} \Gamma(m/|D_0|)^{\chi_{D_0}(m)}
\qquad\qquad
\Gamma_{D} = \prod_{m=1}^{|D|} \Gamma(m/|D|)^{\chi_{D_0}(m)}
$$
$\Gamma$ c'est la fonction $\Gamma$ habituelle et $\chi_{D_0}$ c'est le caractère de Kronecker associé à $D_0$. Ce type de produit intervient dans un machin nommé formule de Chowla-Selberg.
Alors j'ai constaté, de manière expérimentale, que $\Gamma_D/\Gamma_{D_0}$ est une puissance de $f$. Je vous jure que c'est vrai.
> DiscriminantsFondamentaux := [D : D in [-100..-1] | IsFundamentalDiscriminant(D)] ;
> D0 := Random(DiscriminantsFondamentaux)  ; 
> D0 ;
-95
> AbsD0 := Abs(D0) ;
> Chi := KroneckerCharacter(D0) ;
> GammaD0 := &*[Gamma(m/AbsD0)^Chi(m) : m in [1..AbsD0]] ;
> f := Random(2,10)  ;  D := f^2 * D0 ;
> f ;
6
> AbsD := Abs(D) ;
> GammaD := &*[Gamma(m/AbsD)^Chi(m) : m in [1..AbsD]] ;
> GammaD/GammaD0 ;
2821109907456.00000000000000000
> Round(GammaD/GammaD0) ;
2821109907456
> IsPowerOf(Round(GammaD/GammaD0), f) ;
true 16
Mais je n'ai pas (encore) pris assez d'exemples.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Suite. Plus sérieux comme vérification. Je garde les notations $\Gamma_{D_0}$, $\Gamma_D$ où $D = f^2 D_0$ de mon dernier post. J'ai pris les 50 premiers discriminants (négatifs) fondamentaux $D_0$ mais à partir de $-7$ i.e. $-7, -8, -11, -15, -19, -20, -23, -24, -31, \cdots$. J'ai exclus $D_0 = -3, -4$ car ce qui vient dessous ``ne marche pas'' (peut-être à cause du nombre d'unités de l'anneau quadratique de discriminant $D_0$). Et j'ai constaté, pour $1 \le f \le 10$ que
$$
{\Gamma_D \over \Gamma_{D_0}} = f^{2h(D_0)}
$$
Ci-dessus $h(D_0)$ est le nombre de classes de l'anneau quadratique (imaginaire) de discriminant $D_0$.
df
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
"Rien n'est plus suspect qu'un mathématicien commençant une phrase par: $\textbf{"il est bien connu que..."}$.
Souvent il s'agit d'une question pointue sur laquelle il travaille quinze heures par jour depuis deux ans." (Hervé Queffélec)

Exemple: "Il est bien connu que

\begin{equation}
\displaystyle \large {\sum_{q=1}^{\infty} \frac{z^q}{\sin (q\pi x)}, \: \: z=a+ib, \: \: x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}.
\end{equation}

possède un rayon de convergence compris, au sens large, entre 0 et 1, selon la nature arithmétique de $x$."
...



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par df.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Suite de [www.les-mathematiques.net] concernant le quotient $\Gamma_D /\Gamma_{D_0}$. Sauf que cette fois je pose $D = f D_0$ (et non pas $D = f^2 D_0$). Donc $D$ n'est plus un discriminant. Constatation pour les 50 premiers discriminants quadratiques fondamentaux $D_0 \le -7$ et pour $1 \le f \le 30$
$$
{\Gamma_D \over \Gamma_{D_0}} = f^{h(D_0)} \qquad \qquad h(D_0) = \text { nombre de classes de l'anneau quadratique (imaginaire) de discriminant } D_0
$$
En résumé : j'ai remplacé $f^2$ par $f$ et ``ça marche encore''.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Encore une autre expérimentation. J'ai pris un coup de chaud ? Non, pas encore. Pour un entier $n \ge 1$ :
$$
2^{\varphi(n)} \times \prod_{x \in (\Z/n\Z)^\times} \kern -5pt \sin \left( {x\pi \over n}\right) = \cases {
p &si $n$ est une puissance d'un premier $p$ \cr
1 &sinon \cr}
\qquad\qquad (\heartsuit)
$$
Note : $\varphi(n)$ est l'indicateur d'Euler et il est entendu que je remonte les inversibles modulo $n$ dans l'intervalle $[1..n-1]$. Et $p$ peut être égal à 2, une fois n'est pas coutume.

Cela m'a fait penser à un truc bien connu : l'évaluation en 1 du polynôme cyclotomique $\Phi_n$
$$
\Phi_n(1) = \cases {
p &si $n$ est une puissance d'un premier $p$ \cr
1 &sinon \cr}
\qquad\qquad (\spadesuit)
$$
Une bouteille d'eau bien fraîche à la personne qui fournira une preuve de $(\heartsuit)$. Peut-être faut-il procéder comme Reuns/Jandri ? Et deux bouteilles d'eau s'il y a un lien avec $(\spadesuit)$.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Bonjour,
juste une idée comme ça:
sur ${\mathbb{F}_{p}^{*}}^2$ on ne peut pas dire que $x\mapsto x^2$ est d'ordre $\frac{p}{1}$ ?
est ce que ça va dans le me sens ? en constatant que le polynome dérivé s'annule en 0 et est d'ordre $\frac{p-1}{2}$ ?
(désolé pour ces élucubrations)



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de le mois dernier et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par callipiger.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Quand j'ai écrit "Il est bien connu..." je pensais en fait ": c'est un exercice classique avec les nombres complexes".
D'ailleurs reuns en a fait la démonstration en une ligne juste avant mon post.

Pour le nouveau problème posé par claude quitté je n'ai pas mieux qu'une démonstration par récurrence.

En posant $A_n=\displaystyle\prod_{x =1,\,x\wedge n=1}^{n-1} 2\sin \left( {x\pi \over n}\right)$ et en utilisant une égalité "bien connue" on montre :
$n=\displaystyle\prod_{x =1}^{n-1} 2\sin \left( {x\pi \over n}\right)=\displaystyle\prod_{\{d|n,\,d>1\}}\displaystyle\prod_{\{x\wedge n=\frac nd\}} 2\sin \left( {x\pi \over n}\right)=\displaystyle\prod_{d|n,\, d>1} A_d$.

On en déduit ensuite par récurrence que pour $p$ premier et $a\geq1$: $A_{p^a}=p$.

Enfin on montre par récurrence sur $n$ que pour $n$ différent d'une puissance d'un nombre premier on a $A_n=1$.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Je ne sais pas faire un lien direct avec les polynômes cyclotomiques mais la formule $X^n-1=\displaystyle\prod_{d|n} \Phi_d(X)$ entraîne $n=\displaystyle\prod_{d|n,\, d>1} \Phi_d(1)$ qui est la même formule que celle vérifiée par les $A_n$.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
@Jandri Vu et merci. De mon côté, j'ai fait le truc suivant mais pour l'instant j'ai un trou dans 2.

1. Le truc bien connu utilisé par Reuns :
$$
\sin \theta = {e^{i\theta} \over 2i} (1 - e^{-2i\theta}) \qquad \text{d'où} \qquad
\sin\left({\pi x \over n} \right) = {e^{i\pi x /n} \over 2i} (1 - \zeta_n^{-x}) \qquad \text{avec} \quad \zeta_n = e^{2i\pi/n}
$$
J'en fais le produit sur les $x \in [1..n-1]$ tels que $x \wedge n = 1$. En notant $S_n = \sum_{x \wedge n = 1} x$ :
$$
\prod_{x \wedge n = 1} \sin\left({\pi x \over n} \right) = {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i (\pi/n) S_n} \over i^{\varphi(n) }} \prod_{x \wedge n = 1} (1 - \zeta_n^{-x})
= {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i (\pi/n) S_n} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) \qquad (\blacksquare)
$$

2. Pour $n \ge 2$ (expérimenté mais pas encore montré)
$$
S_n =_{\rm def} \sum_{x \wedge n = 1} x = {n \varphi(n) \over 2}
$$

3. En admettant, je remplace $S_n$ par cela à la fin de $(\blacksquare)$ :
$$
\prod_{x \wedge n = 1} \sin\left({\pi x \over n} \right) = {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i(\pi/2) \varphi(n)} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) =
{1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {i^{\varphi(n)} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) = {\Phi_n(1) \over 2^{\varphi(n)}}
$$
J'ai utilisé $e^{i\pi/2} = i$ !

4. Il reste à montrer 2. Et j'ai retrouvé une feuille d'exercices (corrigés) sur les polynômes cyclotomiques que j'attache. Le coup de $\Phi_n(1)$ est la dernière question du premier exo.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - exos_polynomes_cyclotomiques.pdf (111.9 KB)
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
le mois dernier
Bien vu pour le lien avec les polynômes cyclotomiques!

Le 2 est classique (pour moi): on change $x$ en $n-x$.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
il y a sept semaines
Oui, of course (le coup du $x \leftrightarrow n-x$), je m'en suis aperçu tout seul après avoir posté.
Bon, ce qui est facile a été réglé.
Pas ce qui concerne les produits de $\Gamma$ i.e. le coup du quotient $\Gamma_D/\Gamma_{D_0}$. Et je patauge lamentablement sur Chowla-Selberg. Et de plus, je n'ai pas de nouvelles expérimentations, ce qui m'inquiète un peu. On va mettre cela sur le coup de la chaleur.
Re: $\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
il y a sept semaines
Pour le quotient $\Gamma_D / \Gamma_{D_0}$ et la formule de Chowla-Selberg cela dépasse mes compétences !
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