$\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$

@Reuns, Jandri. Ok, merci. Jandri : bien connu que .. Je vais avouer que je l'ignorais (j'ai probablement vu cela quand j'étais petit mais il y a fort longtemps) ; j'ai mis la main sur le truc de manière expérimentale. Cf une AUTRE expérimentation (rien à voir) après le trait.

@Poirot Effectivement, il y a quelque chose qui ressemble à cela, cf le Cours d'Arithmétique de Serre (petit livre noir), Appendice (Autre démonstration de la loi de réciprocité quadratique d'après Eisenstein) p. 18-21 avec un lemme trigonométrique en bas de la page 19. Je dois avouer (bis) qu'à chaque fois que je voyais une preuve de la loi de réciprocité à coup de sinus, je me barrais en courant.Un truc expérimental (je n'ai PAS encore réfléchi). Je prends un discriminant quadratique fondamental $D_0 < 0$ (je ne sais pas si c'est important), un entier $f \ge 1$ et $D = f^2 D_0$. Et je pose :
$$
\Gamma_{D_0} = \prod_{m=1}^{|D_0|} \Gamma(m/|D_0|)^{\chi_{D_0}(m)}
\qquad\qquad
\Gamma_{D} = \prod_{m=1}^{|D|} \Gamma(m/|D|)^{\chi_{D_0}(m)}
$$
$\Gamma$ c'est la fonction $\Gamma$ habituelle et $\chi_{D_0}$ c'est le caractère de Kronecker associé à $D_0$. Ce type de produit intervient dans un machin nommé formule de Chowla-Selberg.
Alors j'ai constaté, de manière expérimentale, que $\Gamma_D/\Gamma_{D_0}$ est une puissance de $f$. Je vous jure que c'est vrai.

[color=#000000]> DiscriminantsFondamentaux := [D : D in [-100..-1] | IsFundamentalDiscriminant(D)] ;
> D0 := Random(DiscriminantsFondamentaux)  ; 
> D0 ;
-95
> AbsD0 := Abs(D0) ;
> Chi := KroneckerCharacter(D0) ;
> GammaD0 := &*[Gamma(m/AbsD0)^Chi(m) : m in [1..AbsD0]] ;
> f := Random(2,10)  ;  D := f^2 * D0 ;
> f ;
6
> AbsD := Abs(D) ;
> GammaD := &*[Gamma(m/AbsD)^Chi(m) : m in [1..AbsD]] ;
> GammaD/GammaD0 ;
2821109907456.00000000000000000
> Round(GammaD/GammaD0) ;
2821109907456
> IsPowerOf(Round(GammaD/GammaD0), f) ;
true 16
[/color]

Mais je n'ai pas (encore) pris assez d'exemples.

Encore une autre expérimentation. J'ai pris un coup de chaud ? Non, pas encore. Pour un entier $n \ge 1$ :
$$
2^{\varphi(n)} \times \prod_{x \in (\Z/n\Z)^\times} \kern -5pt \sin \left( {x\pi \over n}\right) = \cases {
p &si $n$ est une puissance d'un premier $p$ \cr
1 &sinon \cr}
\qquad\qquad (\heartsuit)
$$
Note : $\varphi(n)$ est l'indicateur d'Euler et il est entendu que je remonte les inversibles modulo $n$ dans l'intervalle $[1..n-1]$. Et $p$ peut être égal à 2, une fois n'est pas coutume.

Cela m'a fait penser à un truc bien connu : l'évaluation en 1 du polynôme cyclotomique $\Phi_n$
$$
\Phi_n(1) = \cases {
p &si $n$ est une puissance d'un premier $p$ \cr
1 &sinon \cr}
\qquad\qquad (\spadesuit)
$$
Une bouteille d'eau bien fraîche à la personne qui fournira une preuve de $(\heartsuit)$. Peut-être faut-il procéder comme Reuns/Jandri ? Et deux bouteilles d'eau s'il y a un lien avec $(\spadesuit)$.

@Jandri Vu et merci. De mon côté, j'ai fait le truc suivant mais pour l'instant j'ai un trou dans 2.

1. Le truc bien connu utilisé par Reuns :
$$
\sin \theta = {e^{i\theta} \over 2i} (1 - e^{-2i\theta}) \qquad \text{d'où} \qquad
\sin\left({\pi x \over n} \right) = {e^{i\pi x /n} \over 2i} (1 - \zeta_n^{-x}) \qquad \text{avec} \quad \zeta_n = e^{2i\pi/n}
$$
J'en fais le produit sur les $x \in [1..n-1]$ tels que $x \wedge n = 1$. En notant $S_n = \sum_{x \wedge n = 1} x$ :
$$
\prod_{x \wedge n = 1} \sin\left({\pi x \over n} \right) = {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i (\pi/n) S_n} \over i^{\varphi(n) }} \prod_{x \wedge n = 1} (1 - \zeta_n^{-x})
= {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i (\pi/n) S_n} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) \qquad (\blacksquare)
$$

2. Pour $n \ge 2$ (expérimenté mais pas encore montré)
$$
S_n =_{\rm def} \sum_{x \wedge n = 1} x = {n \varphi(n) \over 2}
$$

3. En admettant, je remplace $S_n$ par cela à la fin de $(\blacksquare)$ :
$$
\prod_{x \wedge n = 1} \sin\left({\pi x \over n} \right) = {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i(\pi/2) \varphi(n)} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) =
{1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {i^{\varphi(n)} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) = {\Phi_n(1) \over 2^{\varphi(n)}}
$$
J'ai utilisé $e^{i\pi/2} = i$ !

4. Il reste à montrer 2. Et j'ai retrouvé une feuille d'exercices (corrigés) sur les polynômes cyclotomiques que j'attache. Le coup de $\Phi_n(1)$ est la dernière question du premier exo.

Oui, of course (le coup du $x \leftrightarrow n-x$), je m'en suis aperçu tout seul après avoir posté.
Bon, ce qui est facile a été réglé.
Pas ce qui concerne les produits de $\Gamma$ i.e. le coup du quotient $\Gamma_D/\Gamma_{D_0}$. Et je patauge lamentablement sur Chowla-Selberg. Et de plus, je n'ai pas de nouvelles expérimentations, ce qui m'inquiète un peu. On va mettre cela sur le coup de la chaleur.