$\prod_{x \text{ carré mod } p} \sin(x\pi/p)$
$\def\F{\mathbb F}$Soit $p$ un premier vérifiant $p \equiv 3 \bmod 4$. Je cherche une preuve (élémentaire), un pointeur ...etc... du résultat suivant :
$$
\prod_{x \in \F_p^{*2}} \sin \left( {x\pi \over p}\right) = {\sqrt p \over 2^{(p-1)/2}}
$$
Quid si $p \equiv 1 \bmod 4$ ?
$$
\prod_{x \in \F_p^{*2}} \sin \left( {x\pi \over p}\right) = {\sqrt p \over 2^{(p-1)/2}}
$$
Quid si $p \equiv 1 \bmod 4$ ?
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Réponses
$p \equiv 3 \bmod 4$ donne que $-1$ n'est pas un carré donc
$$A (-A) = \prod_{x \in F_p^{*2}\cup - F_p^{*2} } \sin \left( {-x\pi \over p}\right) =\prod_{x \in F_p^*} \sin \left( {x\pi \over p}\right)\\ = (2i)^{ - (p-1)}\exp(-i \pi \frac{p(p-1)}{2} / p) \prod_{x=1}^{p-1} (1-\exp(-2i \pi x/p))=
-2^{1-p} \sum_{n=0}^{p-1} 1^n =-2^{1-p} p$$
D'où $A = \pm \frac{\sqrt{p}}{2^{(p-1)/2}}$ ensuite le signe est galère à trouver, problème similaire au signe des https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_Gauss_sum
Il est bien connu que $ab=\displaystyle\prod_{x =1}^{p-1} \sin \left( {x\pi \over p}\right)=\dfrac p{2^{p-1}}$.
Comme $p\equiv 3\pmod 4$, $x$ est un carré si et seulement si $p-x$ n'est pas un carré.
On a donc $b=\displaystyle\prod_{x \in A} \sin \left( {(p-x)\pi \over p}\right)=a$.
Comme $a$ est clairement positif on en déduit $a=\dfrac{\sqrt p}{2^{(p-1)/2}}$
@Poirot Effectivement, il y a quelque chose qui ressemble à cela, cf le Cours d'Arithmétique de Serre (petit livre noir), Appendice (Autre démonstration de la loi de réciprocité quadratique d'après Eisenstein) p. 18-21 avec un lemme trigonométrique en bas de la page 19. Je dois avouer (bis) qu'à chaque fois que je voyais une preuve de la loi de réciprocité à coup de sinus, je me barrais en courant.Un truc expérimental (je n'ai PAS encore réfléchi). Je prends un discriminant quadratique fondamental $D_0 < 0$ (je ne sais pas si c'est important), un entier $f \ge 1$ et $D = f^2 D_0$. Et je pose :
$$
\Gamma_{D_0} = \prod_{m=1}^{|D_0|} \Gamma(m/|D_0|)^{\chi_{D_0}(m)}
\qquad\qquad
\Gamma_{D} = \prod_{m=1}^{|D|} \Gamma(m/|D|)^{\chi_{D_0}(m)}
$$
$\Gamma$ c'est la fonction $\Gamma$ habituelle et $\chi_{D_0}$ c'est le caractère de Kronecker associé à $D_0$. Ce type de produit intervient dans un machin nommé formule de Chowla-Selberg.
Alors j'ai constaté, de manière expérimentale, que $\Gamma_D/\Gamma_{D_0}$ est une puissance de $f$. Je vous jure que c'est vrai. Mais je n'ai pas (encore) pris assez d'exemples.
$$
{\Gamma_D \over \Gamma_{D_0}} = f^{2h(D_0)}
$$
Ci-dessus $h(D_0)$ est le nombre de classes de l'anneau quadratique (imaginaire) de discriminant $D_0$.
Souvent il s'agit d'une question pointue sur laquelle il travaille quinze heures par jour depuis deux ans." (Hervé Queffélec)
Exemple: "Il est bien connu que
\begin{equation}
\displaystyle \large {\sum_{q=1}^{\infty} \frac{z^q}{\sin (q\pi x)}, \: \: z=a+ib, \: \: x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}.
\end{equation}
possède un rayon de convergence compris, au sens large, entre 0 et 1, selon la nature arithmétique de $x$."
...
$$
{\Gamma_D \over \Gamma_{D_0}} = f^{h(D_0)} \qquad \qquad h(D_0) = \text { nombre de classes de l'anneau quadratique (imaginaire) de discriminant } D_0
$$
En résumé : j'ai remplacé $f^2$ par $f$ et ``ça marche encore''.
$$
2^{\varphi(n)} \times \prod_{x \in (\Z/n\Z)^\times} \kern -5pt \sin \left( {x\pi \over n}\right) = \cases {
p &si $n$ est une puissance d'un premier $p$ \cr
1 &sinon \cr}
\qquad\qquad (\heartsuit)
$$
Note : $\varphi(n)$ est l'indicateur d'Euler et il est entendu que je remonte les inversibles modulo $n$ dans l'intervalle $[1..n-1]$. Et $p$ peut être égal à 2, une fois n'est pas coutume.
Cela m'a fait penser à un truc bien connu : l'évaluation en 1 du polynôme cyclotomique $\Phi_n$
$$
\Phi_n(1) = \cases {
p &si $n$ est une puissance d'un premier $p$ \cr
1 &sinon \cr}
\qquad\qquad (\spadesuit)
$$
Une bouteille d'eau bien fraîche à la personne qui fournira une preuve de $(\heartsuit)$. Peut-être faut-il procéder comme Reuns/Jandri ? Et deux bouteilles d'eau s'il y a un lien avec $(\spadesuit)$.
juste une idée comme ça:
sur ${\mathbb{F}_{p}^{*}}^2$ on ne peut pas dire que $x\mapsto x^2$ est d'ordre $\frac{p}{1}$ ?
est ce que ça va dans le me sens ? en constatant que le polynome dérivé s'annule en 0 et est d'ordre $\frac{p-1}{2}$ ?
(désolé pour ces élucubrations)
D'ailleurs reuns en a fait la démonstration en une ligne juste avant mon post.
Pour le nouveau problème posé par claude quitté je n'ai pas mieux qu'une démonstration par récurrence.
En posant $A_n=\displaystyle\prod_{x =1,\,x\wedge n=1}^{n-1} 2\sin \left( {x\pi \over n}\right)$ et en utilisant une égalité "bien connue" on montre :
$n=\displaystyle\prod_{x =1}^{n-1} 2\sin \left( {x\pi \over n}\right)=\displaystyle\prod_{\{d|n,\,d>1\}}\displaystyle\prod_{\{x\wedge n=\frac nd\}} 2\sin \left( {x\pi \over n}\right)=\displaystyle\prod_{d|n,\, d>1} A_d$.
On en déduit ensuite par récurrence que pour $p$ premier et $a\geq1$: $A_{p^a}=p$.
Enfin on montre par récurrence sur $n$ que pour $n$ différent d'une puissance d'un nombre premier on a $A_n=1$.
1. Le truc bien connu utilisé par Reuns :
$$
\sin \theta = {e^{i\theta} \over 2i} (1 - e^{-2i\theta}) \qquad \text{d'où} \qquad
\sin\left({\pi x \over n} \right) = {e^{i\pi x /n} \over 2i} (1 - \zeta_n^{-x}) \qquad \text{avec} \quad \zeta_n = e^{2i\pi/n}
$$
J'en fais le produit sur les $x \in [1..n-1]$ tels que $x \wedge n = 1$. En notant $S_n = \sum_{x \wedge n = 1} x$ :
$$
\prod_{x \wedge n = 1} \sin\left({\pi x \over n} \right) = {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i (\pi/n) S_n} \over i^{\varphi(n) }} \prod_{x \wedge n = 1} (1 - \zeta_n^{-x})
= {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i (\pi/n) S_n} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) \qquad (\blacksquare)
$$
2. Pour $n \ge 2$ (expérimenté mais pas encore montré)
$$
S_n =_{\rm def} \sum_{x \wedge n = 1} x = {n \varphi(n) \over 2}
$$
3. En admettant, je remplace $S_n$ par cela à la fin de $(\blacksquare)$ :
$$
\prod_{x \wedge n = 1} \sin\left({\pi x \over n} \right) = {1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {e^{i(\pi/2) \varphi(n)} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) =
{1 \over 2^{\varphi(n)}} \ {i^{\varphi(n)} \over i^{\varphi(n) }} \ \Phi_n(1) = {\Phi_n(1) \over 2^{\varphi(n)}}
$$
J'ai utilisé $e^{i\pi/2} = i$ !
4. Il reste à montrer 2. Et j'ai retrouvé une feuille d'exercices (corrigés) sur les polynômes cyclotomiques que j'attache. Le coup de $\Phi_n(1)$ est la dernière question du premier exo.
Le 2 est classique (pour moi): on change $x$ en $n-x$.
Bon, ce qui est facile a été réglé.
Pas ce qui concerne les produits de $\Gamma$ i.e. le coup du quotient $\Gamma_D/\Gamma_{D_0}$. Et je patauge lamentablement sur Chowla-Selberg. Et de plus, je n'ai pas de nouvelles expérimentations, ce qui m'inquiète un peu. On va mettre cela sur le coup de la chaleur.