Une question bête ?

$\def\F{\mathbb F}\def\Z{\mathbb Z}$@Jelobreuil
Le développement décimal de $1/p$ est lié à l'ordre de $10$ dans $\F_p^*$ ($p$ premier) où $\F_p$ est le corps $\Z/p\Z$. Cet ordre est un diviseur de $p-1$.

[color=#000000]> Order(GF(37)!10) ;
3
> Order(GF(41)!10) ;
5
> Order(GF(43)!10) ;
21
> Order(GF(47)!10) ;
46
[/color]

Est ce que tu reconnais tes billes ? Note : ci-dessus, GF(p) c'est $\F_p$.
J'attache un exercice corrigé ; peut-être que cela t'aidera ? Ainsi qu'un autre machin que j'ai eu la chance de retrouver.

Cidrolin:

Tu parles de ce nombre-là: $1304347826086956521739$ ?

J'ai résolu ton problème de la façon suivante:

Soit $m=10^n\times 13+a$ .
L'hypothèse du problème posée est que $3(100a+13)=m$

C'est à dire que: $10^n-3=23a$ il ne reste plus qu'à trouver un entier $n$ tel que $10^n-3$ est divisible par $23$
La plus petite valeur de $n$ qui vérifie cette condition est $n=20$ donc on peut prendre $a=\dfrac{10^{20}-3}{23}$

Pas mal cette méthode qui rentre dans l’esprit du fil (développement décimal périodique).

Une seule justification doit être faite rigoureusement à mon sens : $100x=13+x/3$.
Je ne dis pas que c’est difficile cependant.

Merci pour cet exercice, pour ce fil et aussi pour les documents, cher Claude.

@callipiger , soit le golden ratio $\varphi = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, alors :
\begin{eqnarray}
\sum_{k=1}^{+\infty} 10^{-(k+1)} F_k & = & \frac{1}{10\sqrt{5}} \sum_{k=1}^{+\infty} \bigg[ \Big( \frac{\varphi}{10} \Big)^k - \Big( -\frac{1}{10\varphi} \Big)^k \bigg] \\
& = & \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{\displaystyle{\varphi+\frac{1}{\varphi}}}{\displaystyle{(10-\varphi) \Big( 10+\frac{1}{\varphi} \Big)}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \frac{\displaystyle{\varphi+\frac{1}{\varphi}}}{\displaystyle{99 - 10 \Big( \varphi - \frac{1}{\varphi} \Big)}} = \frac{1}{89}
\end{eqnarray}
[modéré]

Une question qui, me semble-t-il, n'est pas bête est: Si $p>5$ est un nombre premier quelle condition doit vérifier $p$ pour que le développement décimal de $\dfrac{1}{p}$ soit exactement de longueur $p-1$ ?
Existe-t-il une infinité de tels $p$ premiers?

NB:
En utilisant la théorie des résidus quadratiques (et, entre autres, en utilisant le théorème de réciprocité quadratique)
on montre par exemple, sauf erreur, que les nombres premiers de la forme $p=80k+1$ sont tels que la longueur de leur développement décimal est strictement plus petit que $p-1$.
Il y a une infinité de tels nombres premiers d'après le théorème de la progression arithmétique.

Fdp a écrit:

Si $r$ est un rationnel. On sait qu'il existe $n$ entier naturel tel que $10^nr-r$ est un entier.

Tu es sûr de cette affirmation ? Sauf à accepter $n=0$ (ce qui n'est pas cohérent avec la suite de ton message), je vois mal comme cela est possible si $r=\frac{1}{2}$...

Bonjour,

@Grothad'icks
On peut tous faire "mumuse" avec des récurrences d'ordre 2, une fois qu'on sait que l'on est dans des séries qui vivent dans un plan, et que la forme linéaire qui donnera la somme des termes consécutifs est combinaison linéaire des deux formes linéaires de l'espace dual

---

>bref, je sors

@tous
Sur le même thème :
il existe un rationnel dont le développement décimal est:
0.12345678987654321 puis répétition
ou bien 0.01020304050607080910111213141516171819.... etc jusqu'au pic 99 puis 989796959493929190 etc et répétition

j'ai vu ça dans une vidéo de numberphile... (ou une autre chaîne de maths de Youtube) et je trouve ça fascinant
c'est vraiment le produit de convolution des fonctions transposés aux développement décimal de rationnels.

j'imagine qu'il y a un rationnel dont le développement décimal contient la suite des carrés, et un autre la suite des cubes etc... fascinant.

@gérard0
je précise une rationnel qui donne la suite des carrés jusqu'à 100 puis répétition
et un autre rationnel qui donne la suite des carrés jusqu'à 10000 puis répétition
et un autre rationnel qui donne la suite des carrés jusqu'à 1000000 puis répétition
etc...

@Dom
la suite contient les puissances de 10 qui casse toute régularité: il y a une sous suite croissante de 0 dans le développement décimal.

@tous
je souhaite vérifier certaines conjectures ici numériquement
que conseillez vous ?
Utiliser Python ou Sage ?
sachant qu'il va me falloir travailler avec de grands entiers?
ou avec de grands décimaux.
Merci

oui il y a une obstruction passée de 99 ou 999 ou 9999 etc qui sature en retenues...
mais à creuser....
je dois choisir le bon langage de programmation pour tester ça mais lequel...?
il me faut un langage avec un package "grands entiers" ou alors refaire toute une classe en python mais ça va me prendre 2 jours... je ne connais pas les fonctionnalités de python encore... bon du travail en perspective en tout cas et des symétries à retrouver découvrir pour tuez les retenues intempestives.

ps: je pense que ce n'est pas par flemme il y a un réel souci à régler mais je veux croire que c'est possible... à voir...
bonne soirée
je vais revenir à la géométrie un moment... @pappus: j'arrive ! (avec mes idées folles qui commencent vraiment à décanter...)

ps: je sens que vais utiliser python pour bricoler ça... (et arrêter de déconner avec Scratch... sauf pour le début histoire de me faire un bon brouillon)

Voir https://oeis.org/A001913

@JLB Suite. Les premiers $p > 5$ tels que la longueur de la période du développement décimal de $1/p$ soit $p-1$, on ne les détermine pas (surtout pas) via le développement décimal de $1/p$. On prend son système de Calcul Formel préféré et, pour un $p$, on interroge le statut de ``$10$ est une racine primitive modulo $p$''. Voici les $p< 10^3$ qui ont cette propriété

[color=#000000]
> time [p : p in PrimesInInterval(7,10^3) | IsPrimitive(10 mod p, p)] ;
[ 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 
379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 
823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 ]
Time: 0.000
[/color]

@JLB
J'ignorais ce que tu savais ou ne savais pas. Bilan, sans faire exprès, j'ai été trop vite, beaucoup trop vite. L'exercice corrigé était destiné à l'époque à des étudiant(e)s en mathématiques de troisième année universitaire. Laisse tomber l'article de Murty sauf peut-être les premières pages.

Le plus important dans l'histoire est, pour $p$ premier, le groupe MULTIPLICATIF $\big((\Z/p\Z)^\times, \times\big)$ où $(\Z/p\Z)^\times$ est $\Z/p\Z \setminus \{0\}$. A ne pas mélanger avec le groupe ADDITIF $(\Z/p\Z, +)$. Mais déjà, à cet endroit, cela a été probablement trop vite. Revenir en arrière ? La première chose est d'être à l'aise avec le calcul modulo $p$ et plus généralement modulo $b$ où $b$ est un entier. Le fait que $\Z/p\Z \setminus \{0\}$ soit un groupe n'est pas une évidence lorsque l'on débute ...etc...

Que faire ? Je n'en sais rien !

Dire que 10 est un générateur de $(\Z/p\Z)^\times$ signifie que $\ (\Z/p\Z)^\times = \{10^k \bmod p \mid 0 \le k < p-1\}$ : tout entier non nul modulo $p$ est égal modulo $p$ à une puissance de 10. On dit aussi que 10 est une racine primitive modulo $p$, c'est exactement la même chose.

Il faudrait également parler de l'ordre d'un élément dans un groupe. Et de pas mal de choses que l'on apprend au fur et à mesure dans les premières années universitaires dans un cycle de maths. Tout un programme.

Autre chose. Je n'aime pas pointer wiki mais pour une fois, je le fais : https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_d'Artin_sur_les_racines_primitives. En attaché, un extrait. $S(a)$ c'est la propriété : il existe une infinité de premiers $p$ tels que $a$ soit une racine primitive modulo $p$. Il y a une infinité de $a$ tels que $S(a)$ mais on en connaît aucun de manière explicite.