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Théorème fondamental de l'arithmétique

Envoyé par shinitchi 
Théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
Bonjour à tous, j'ai une question au sujet de la formulation du théorème fondamental de l'arithmétique (source = wiki) :

"tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs."

Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (appelé \textbf{produit vide})

Qu'en est-il pour les nombres premiers ? 7 est le résultat de quel produit si ce n'est $7 \times 1$ L'ennui c'est que $1$ n'est pas premier. Par convention, on écrit que la décomposition de $7$ en produits de facteurs premiers est $7$ mais j'ai le sentiment que ça ne colle pas bien au théorème énoncé comme ci-dessus.
J'ai cherché la définition de "produit" est j'ai obtenu (via wiki) : un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble pour une loi interne multiplicative.

Faudrait-il plutôt écrire :
"tout entier strictement positif non premier peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs." ?

Merci d'avance à ceux qui auront un élément de réponse à m'apporter.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par AD.
Re: théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
Tout nombre entier $>0$ est le produit d'une famille finie de nombres premiers : pour tout entier $n>0$, il existe une famille $(p_i)_{i\in I}$ où $I$ est un ensemble fini et, pour tout $i\in I$, $p_i$ est premier, telle que $n=\prod_{i\in I} p_i$.
C'est le cas pour $1$ avec $I=\emptyset$, et c'est le cas pour $7$ avec $I=\{*\}$ et $p_*=7$.
Re: théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
Merci GaBuZoMeu pour ta réponse,

avec ta formulation, mon problème reste le même parce qu'avec la définition du mot "produit" selon wiki, ce serait le résultat de la composition de deux éléments à moins que quelque chose ne m'échappe.
Re: théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
Wikipedia n'est sans doute pas la bonne référence pour définir le produit d'une famille finie d'éléments dans un monoïde commutatif. $$

\prod_{i\in \emptyset} a_i= 1\;.

$$ Si $*\in I$ $$
\prod_{i\in I} a_i= a_*\left( \prod_{i\in I\setminus\{*\}} a_i\right)\;.

$$ Et donc $$
\prod_{i\in \{*\}} a_i= a_*\;.$$



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par AD.
Re: théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
Merci encore GaBuZoMeu,

en effet avec cette définition du produit, cela m'apparaît rigoureux. Pour l'enseigner aux élèves de 3ème, je ne leur énoncerai pas comme tel tout de même.

Merci encore.
Re: théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
En tout cas, produit d'une famille finie ne veut pas dire produit de deux : tant qu'on y est $2\times 3\times 5$ ne serait pas un produit de nombre premiers, en suivant ce que tu disais plus haut (ce n'est pas le produit de deux nombres premiers).
Re: théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
j'ai mentionné décomposition en produitS de facteurS premierS. donc je pense que ça tient quand même, il s'agit de plusieurs produits de deux éléments. En revanche les deux éléments ne sont pas premiers puisque $(2\times 3) \times 5=6\times 5$ mais les facteurs initiaux 2, 3 et 5 le sont.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a onze mois et a été effectuée par shinitchi.
Re: théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
Je ne fais que suivre ta logique : si "un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble pour une loi interne multiplicative", alors $2\times 3\times 5$ n'est pas un produit de nombres premiers. mais le produit d'un nombre premier par un produit de nombres premiers.
Re: théorème fondamental de l'arithmétique
il y a onze mois
Oui oui, tu as raison. C'est ce que je disais aussi dans le dernier message avec $6\times 5$ qui est un produit mais pas de facteurs premiers.

Je te remercie encore pour tes réponses.
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