Théorème fondamental de l'arithmétique
dans Arithmétique
Bonjour à tous, j'ai une question au sujet de la formulation du théorème fondamental de l'arithmétique (source = wiki) :
"tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs."
Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (appelé \textbf{produit vide})
Qu'en est-il pour les nombres premiers ? 7 est le résultat de quel produit si ce n'est $7 \times 1$ L'ennui c'est que $1$ n'est pas premier. Par convention, on écrit que la décomposition de $7$ en produits de facteurs premiers est $7$ mais j'ai le sentiment que ça ne colle pas bien au théorème énoncé comme ci-dessus.
J'ai cherché la définition de "produit" est j'ai obtenu (via wiki) : un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble pour une loi interne multiplicative.
Faudrait-il plutôt écrire :
"tout entier strictement positif non premier peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs." ?
Merci d'avance à ceux qui auront un élément de réponse à m'apporter.
"tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs."
Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (appelé \textbf{produit vide})
Qu'en est-il pour les nombres premiers ? 7 est le résultat de quel produit si ce n'est $7 \times 1$ L'ennui c'est que $1$ n'est pas premier. Par convention, on écrit que la décomposition de $7$ en produits de facteurs premiers est $7$ mais j'ai le sentiment que ça ne colle pas bien au théorème énoncé comme ci-dessus.
J'ai cherché la définition de "produit" est j'ai obtenu (via wiki) : un produit est le résultat de la composition de deux éléments d'un ensemble pour une loi interne multiplicative.
Faudrait-il plutôt écrire :
"tout entier strictement positif non premier peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs." ?
Merci d'avance à ceux qui auront un élément de réponse à m'apporter.
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Réponses
C'est le cas pour $1$ avec $I=\emptyset$, et c'est le cas pour $7$ avec $I=\{*\}$ et $p_*=7$.
avec ta formulation, mon problème reste le même parce qu'avec la définition du mot "produit" selon wiki, ce serait le résultat de la composition de deux éléments à moins que quelque chose ne m'échappe.
\prod_{i\in \emptyset} a_i= 1\;.
$$ Si $*\in I$ $$
\prod_{i\in I} a_i= a_*\left( \prod_{i\in I\setminus\{*\}} a_i\right)\;.
$$ Et donc $$
\prod_{i\in \{*\}} a_i= a_*\;.$$
en effet avec cette définition du produit, cela m'apparaît rigoureux. Pour l'enseigner aux élèves de 3ème, je ne leur énoncerai pas comme tel tout de même.
Merci encore.
Je te remercie encore pour tes réponses.