Fractions continues

soland
soland
dans Arithmétique
Quels sont les réels dont 22/13 est une approximation
obtenue via leur développement en fraction continue ?

Réponses

  • Fin de partie
    Fin de partie
    On a :
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_continue#Encadrement_et_convergence
  • Cidrolin
    Cidrolin
    on a : $\dfrac {22}{13} =[1,1,2,4]$

    et $\dfrac 1 3 \sqrt{10 \pi} \tan \dfrac{9210717}{12514516}=[1,1,2,4,412764640607089635,2,10,1,\dots]$
  • Fin de partie
    Fin de partie
    \begin{align}y&=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{4+x}}}\\
    &=\dfrac{22+5x}{13+3x}\\
    \end{align}
    Donc,
    Pour tout $x$ réel de $[0;1[$ le développement en fraction continue régulière de $\dfrac{22+5x}{13+3x}$ commence par $[1,1,2,4]$

    Il n'y a plus qu'à étudier la fonction, définie sur $[0;1[$, $f(x)=\dfrac{22+5x}{13+3x}$

    C'est une bijection de $[0;1[$ sur $\left]\frac{27}{16};\frac{22}{13}\right]$
    L'application réciproque est: $g(y)=\dfrac{22-13y}{3y-5}$

    PS:
    Donc, tous les réels dans l'intervalle $\left]\frac{27}{16};\frac{22}{13}\right]$ ont un développement en fraction continue régulière qui commence par $[1,1,2,4]$
  • callipiger
    callipiger
    Bonjour,
    @Cidrolin
    quelle est votre recette pour trouver des nombres dont les approximations rationnelles sont si précises assez vite ?
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Je propose 1.692307692307692307692307692307692307692307692307692307692 à wolframalpha et je lis les "Possible Closed Forms".88756
  • Fin de partie
    Fin de partie
    $\dfrac{22+5\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)}{13+3\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)}$
    Marche très bien aussi.
  • soland
    soland
    @ Fin de partie
    N'oublions pas les réels dont le développement commence par
    $[1,1,2,3,1,\cdots]$
  • soland
    soland
    @callipiger

    Pour approximer un réel
    (1) on le décompose en Partie entière + Partie fractionnaire
    (2) on inverse la partie fractionnaire
    (3) que l'on décompose en Partie entière + Partie fractionnaire
    ETC

    Par exemple
    $5.4321 = 5 + 0.4321 =$
    $5+1/(2+0.31427...) =$
    $5+1/(2+1/(3+0.18188...)) =$
    $5+1/(2+1/(3+1/(5+0.49797...))) =$
    $5+1/(2+1/(3+1/(5+1/(2+...)))) =$
    Mettons qu'on est lassé et qu'on laisse tomber les derniers petits points,
    Il reste $5+1/(2+1/(3+1/(5+1/2)) = 440/81 \approx 5.4320987...)$
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Soland:

    Je ne suis pas sûr de comprendre:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/pm.php?5,page=send,message_id=1842464
  • Robusta
    Robusta
    @callipiger
    "quelle est votre recette pour trouver des nombres dont les approximations rationnelles (ou pas) sont si précises assez vite ?

    Par exemple avec le nombre d’utilisateurs et le nombre de discussions de M.net
    http://tinyurl.com/y5qcpgw5 magique !
  • soland
    soland
    @Fin de partie
    Le développement des réels dont 22/13 est une approximation par excès commence par
    $[1,1,2,4,\cdots$. par exemple $[1,1,2,4,2]=49/29$
    Le développement de ceux dont 22/13 est une approximation par défaut commence par
    $[1,1,2,3,1,\cdots$. par exemple $[1,1,2,3,1,3]=83/49$
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Soland:

    Ta question initiale était floue. Je l'ai interprétée comme: $22/13$ est une réduite du développement en fraction continue du, ou des nombres réels cherchés.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Pour que $\dfrac{22}{13}$ soit une réponse, on peut demander :

    Quel est le rationnel de $\Big ]\dfrac{411-\sqrt 5}{242}; \dfrac{209-\sqrt 5}{122}\Big [$ dont le dénominateur est le plus petit ?
  • soland
    soland
    @ Fin de partie

    $$\begin{matrix}
    * & * & 1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 3 \\
    0 & 1 & 1 & 1 & 5 & 17 & 22 & 83 \\
    1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 10 & 13 & 49 \\
    \end{matrix}$$
    22/13 est bien une convergente de 83/49 .
  • soland
    soland
    (Vocabulaire lié aux fractions continues.)

    Question : Quels sont les réels dont 22/13 est une convergente ?
    Réponse : Les réels de l'intervalle fermé $[27/16, 39/23]$.

    Si quelqu'un voit du flou la dedans, qu'il le dise.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Sans vouloir entrer dans le flou, ne dit-on pas réduite ?
  • soland
    soland
    Nous réservons réduite pour la fraction "in it's lowest terms"
    et Mathematica® parle de "convergents" dans le contexte des fractions continues.

    Ceci dit, dans les domaines peu fréquentés l'usage met plus de temps à s'uniformiser.

    Tant qu'on sait de quoi l'on parle...
    M'est avis que le Suisse est plus souvent confronté à d'autres façons de faire que le Français.
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