Fractions continues
dans Arithmétique
Quels sont les réels dont 22/13 est une approximation
obtenue via leur développement en fraction continue ?
obtenue via leur développement en fraction continue ?
Réponses
-
on a : $\dfrac {22}{13} =[1,1,2,4]$
et $\dfrac 1 3 \sqrt{10 \pi} \tan \dfrac{9210717}{12514516}=[1,1,2,4,412764640607089635,2,10,1,\dots]$ -
\begin{align}y&=1+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{2+\dfrac{1}{4+x}}}\\
&=\dfrac{22+5x}{13+3x}\\
\end{align}
Donc,
Pour tout $x$ réel de $[0;1[$ le développement en fraction continue régulière de $\dfrac{22+5x}{13+3x}$ commence par $[1,1,2,4]$
Il n'y a plus qu'à étudier la fonction, définie sur $[0;1[$, $f(x)=\dfrac{22+5x}{13+3x}$
C'est une bijection de $[0;1[$ sur $\left]\frac{27}{16};\frac{22}{13}\right]$
L'application réciproque est: $g(y)=\dfrac{22-13y}{3y-5}$
PS:
Donc, tous les réels dans l'intervalle $\left]\frac{27}{16};\frac{22}{13}\right]$ ont un développement en fraction continue régulière qui commence par $[1,1,2,4]$ -
Bonjour,
@Cidrolin
quelle est votre recette pour trouver des nombres dont les approximations rationnelles sont si précises assez vite ? -
Je propose 1.692307692307692307692307692307692307692307692307692307692 à wolframalpha et je lis les "Possible Closed Forms".
-
$\dfrac{22+5\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)}{13+3\sin\left(\frac{\pi}{7}\right)}$
Marche très bien aussi. -
@ Fin de partie
N'oublions pas les réels dont le développement commence par
$[1,1,2,3,1,\cdots]$ -
@callipiger
Pour approximer un réel
(1) on le décompose en Partie entière + Partie fractionnaire
(2) on inverse la partie fractionnaire
(3) que l'on décompose en Partie entière + Partie fractionnaire
ETC
Par exemple
$5.4321 = 5 + 0.4321 =$
$5+1/(2+0.31427...) =$
$5+1/(2+1/(3+0.18188...)) =$
$5+1/(2+1/(3+1/(5+0.49797...))) =$
$5+1/(2+1/(3+1/(5+1/(2+...)))) =$
Mettons qu'on est lassé et qu'on laisse tomber les derniers petits points,
Il reste $5+1/(2+1/(3+1/(5+1/2)) = 440/81 \approx 5.4320987...)$ -
Soland:
Je ne suis pas sûr de comprendre:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/pm.php?5,page=send,message_id=1842464 -
@callipiger
"quelle est votre recette pour trouver des nombres dont les approximations rationnelles (ou pas) sont si précises assez vite ?
Par exemple avec le nombre d’utilisateurs et le nombre de discussions de M.net
http://tinyurl.com/y5qcpgw5 magique ! -
Soland:
Ta question initiale était floue. Je l'ai interprétée comme: $22/13$ est une réduite du développement en fraction continue du, ou des nombres réels cherchés. -
Pour que $\dfrac{22}{13}$ soit une réponse, on peut demander :
Quel est le rationnel de $\Big ]\dfrac{411-\sqrt 5}{242}; \dfrac{209-\sqrt 5}{122}\Big [$ dont le dénominateur est le plus petit ? -
@ Fin de partie
$$\begin{matrix}
* & * & 1 & 1 & 2 & 3 & 1 & 3 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 5 & 17 & 22 & 83 \\
1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 10 & 13 & 49 \\
\end{matrix}$$
22/13 est bien une convergente de 83/49 . -
(Vocabulaire lié aux fractions continues.)
Question : Quels sont les réels dont 22/13 est une convergente ?
Réponse : Les réels de l'intervalle fermé $[27/16, 39/23]$.
Si quelqu'un voit du flou la dedans, qu'il le dise. -
Sans vouloir entrer dans le flou, ne dit-on pas réduite ?
-
Nous réservons réduite pour la fraction "in it's lowest terms"
et Mathematica® parle de "convergents" dans le contexte des fractions continues.
Ceci dit, dans les domaines peu fréquentés l'usage met plus de temps à s'uniformiser.
Tant qu'on sait de quoi l'on parle...
M'est avis que le Suisse est plus souvent confronté à d'autres façons de faire que le Français.
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Bonjour!
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