$n$ divise $\sum_{k=0}^{E(n/3)}\binom n{3k}$
dans Arithmétique
Bonjour
Je cherche les valeurs de $n$ telles que $n$ divise $\ \displaystyle\sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}}$.
Je ne sais pas si ma méthode permet de conclure.
On montre que $\ \displaystyle \sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}} = \frac{2^{n}+2\cos(n\pi/3)}{3}$ en passant par les complexes.
Ensuite en distinguant les cas modulo $6$ pour éliminer le $\cos$, on arrive à
$N = \frac{2^{n}+2}{3},$ pour $n = 0 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}-2}{3},$ pour $n = 3 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}-1}{3},$ pour $n = 2$ ou $n = 4 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}+1}{3},$ pour $n = 1$ ou $n = 5 \mod 6$.
Seul ce dernier cas me pose problème. Pour les premiers, je montre que $n$ ne divise pas $N$ car $n$ est multiple de $2$ ou $3$ alors que $N$ ne l'est pas, en regardant les valeurs de $2^n \mod 6$ ou $9$ (par exemple, le 1er : comme $n=0[6]$ on montre que $2^n = 1[9]$ puis $N = 1[3]$, or $n$ multiple de $3$).
Mais dans le dernier cas on voit bien que c'est impossible de raisonner de la sorte puisqu'on ne peut pas trouver de diviseur pour $n$.
Après avoir testé il semble qu'il n'y ait aucune autre solution que $n = 1$ (on a alors $N = 1$).
Merci d'avance.
Je cherche les valeurs de $n$ telles que $n$ divise $\ \displaystyle\sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}}$.
Je ne sais pas si ma méthode permet de conclure.
On montre que $\ \displaystyle \sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}} = \frac{2^{n}+2\cos(n\pi/3)}{3}$ en passant par les complexes.
Ensuite en distinguant les cas modulo $6$ pour éliminer le $\cos$, on arrive à
$N = \frac{2^{n}+2}{3},$ pour $n = 0 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}-2}{3},$ pour $n = 3 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}-1}{3},$ pour $n = 2$ ou $n = 4 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}+1}{3},$ pour $n = 1$ ou $n = 5 \mod 6$.
Seul ce dernier cas me pose problème. Pour les premiers, je montre que $n$ ne divise pas $N$ car $n$ est multiple de $2$ ou $3$ alors que $N$ ne l'est pas, en regardant les valeurs de $2^n \mod 6$ ou $9$ (par exemple, le 1er : comme $n=0[6]$ on montre que $2^n = 1[9]$ puis $N = 1[3]$, or $n$ multiple de $3$).
Mais dans le dernier cas on voit bien que c'est impossible de raisonner de la sorte puisqu'on ne peut pas trouver de diviseur pour $n$.
Après avoir testé il semble qu'il n'y ait aucune autre solution que $n = 1$ (on a alors $N = 1$).
Merci d'avance.
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Réponses
par curiosité, vous dîtes en passant par les complexes... vous vous y prenez comment ? (je ne connais pas cette technique là)
https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/dire.php