$n$ divise $\sum_{k=0}^{E(n/3)}\binom n{3k}$
dans Arithmétique
Bonjour
Je cherche les valeurs de $n$ telles que $n$ divise $\ \displaystyle\sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}}$.
Je ne sais pas si ma méthode permet de conclure.
On montre que $\ \displaystyle \sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}} = \frac{2^{n}+2\cos(n\pi/3)}{3}$ en passant par les complexes.
Ensuite en distinguant les cas modulo $6$ pour éliminer le $\cos$, on arrive à
$N = \frac{2^{n}+2}{3},$ pour $n = 0 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}-2}{3},$ pour $n = 3 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}-1}{3},$ pour $n = 2$ ou $n = 4 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}+1}{3},$ pour $n = 1$ ou $n = 5 \mod 6$.
Seul ce dernier cas me pose problème. Pour les premiers, je montre que $n$ ne divise pas $N$ car $n$ est multiple de $2$ ou $3$ alors que $N$ ne l'est pas, en regardant les valeurs de $2^n \mod 6$ ou $9$ (par exemple, le 1er : comme $n=0[6]$ on montre que $2^n = 1[9]$ puis $N = 1[3]$, or $n$ multiple de $3$).
Mais dans le dernier cas on voit bien que c'est impossible de raisonner de la sorte puisqu'on ne peut pas trouver de diviseur pour $n$.
Après avoir testé il semble qu'il n'y ait aucune autre solution que $n = 1$ (on a alors $N = 1$).
Merci d'avance.
Je cherche les valeurs de $n$ telles que $n$ divise $\ \displaystyle\sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}}$.
Je ne sais pas si ma méthode permet de conclure.
On montre que $\ \displaystyle \sum_{k=0}^{E(n/3)}{\binom{n}{3k}} = \frac{2^{n}+2\cos(n\pi/3)}{3}$ en passant par les complexes.
Ensuite en distinguant les cas modulo $6$ pour éliminer le $\cos$, on arrive à
$N = \frac{2^{n}+2}{3},$ pour $n = 0 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}-2}{3},$ pour $n = 3 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}-1}{3},$ pour $n = 2$ ou $n = 4 \mod 6$
$N = \frac{2^{n}+1}{3},$ pour $n = 1$ ou $n = 5 \mod 6$.
Seul ce dernier cas me pose problème. Pour les premiers, je montre que $n$ ne divise pas $N$ car $n$ est multiple de $2$ ou $3$ alors que $N$ ne l'est pas, en regardant les valeurs de $2^n \mod 6$ ou $9$ (par exemple, le 1er : comme $n=0[6]$ on montre que $2^n = 1[9]$ puis $N = 1[3]$, or $n$ multiple de $3$).
Mais dans le dernier cas on voit bien que c'est impossible de raisonner de la sorte puisqu'on ne peut pas trouver de diviseur pour $n$.
Après avoir testé il semble qu'il n'y ait aucune autre solution que $n = 1$ (on a alors $N = 1$).
Merci d'avance.
Réponses
-
Bonjour,
par curiosité, vous dîtes en passant par les complexes... vous vous y prenez comment ? (je ne connais pas cette technique là) -
@callipiger (en réponse à) : on développe $(1+1)^n$, $(1+j)^n$ et $(1+j^2)^n$ (avec le binôme de Newton et en notant $j$ une racine cubique primitive de l'unité), puis on somme les trois lignes.
-
merci... dit comme ça c'est super simple. (j'adore les preuves comme celles là)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres