Premier divisant un nombre de Fibonacci

Voir le fil Fibonacci dans 89 http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1729310,1729310#msg-1729310 Ce n'est peut-être pas facile de s'y retrouver mais la réponse y figure (et même un résultat plus général).

Bonsoir

D'accord avec Nodgim.
Plus généralement, si $a$ et $b$ sont étrangers et $p$ est non nul (premier OU PAS), alors $p$ divise une infinité de termes de la suite $u$ définie par:
$\forall n \in \mathbb N, u_0=a, u_1=b, u_{n+2}=u_n+u_{n+1}$.
Plus précisément, si $n_0$ est le plus petit des indices $k$ tels que $p$ divise $u_k$, les $k$ sont les multiples de $n_0$ et $n_0$ est inférieur à $p^2$.
Sauf erreur, comme d'hab!

Cordialement
Paul

Avec $c =ab$ et $p \nmid c$, $a \phi^n + b \phi^{-n} = 0 \bmod p$ donne $ (\phi^2)^n = -c^{-1} b^2 \bmod p$

Pour la suite de Fibonacci on prend $a = -b = 1/\sqrt{5}, c=-5, -c^{-1}b^2 = 1$ donc il suffit de prendre $n = ordre(\phi^2 \in \Z[\phi]/(p)^\times)$ pour avoir $a \phi^n + b \phi^{-n} = 0 \bmod p$

Mais si tu prends $a = 3+\sqrt{5}, b= 3-\sqrt{5}, c = 4$ alors ça ne marche plus.

Que $-b^2/c$ est toujours dans le sous-groupe cyclique généré par $\phi^2 \bmod p$