Somme de deux carrés et nombres consécutifs
dans Arithmétique
Bonjour
J'ai l'équation diophantienne suivante.
Somme de 2 carrées égale à la multiplication de deux nombres consécutifs
a2+b2=x*(x+1)
Le paramètre fixe est a. Les deux variables sont b et x.
Pour une valeur a fixée quelconque, existe-t-il toujours un couple de valeurs b, x ?
Y a-t-il eu des études sur le sujet ? Si oui, auriez-vous des références, voire des résultats ?
Il y a des cas sans solutions quand a2+b2 est un nombre premier, mais pour une valeur a donnée, y a-t-il toujours un couple de valeurs b, x ?
Merci
J'ai l'équation diophantienne suivante.
Somme de 2 carrées égale à la multiplication de deux nombres consécutifs
a2+b2=x*(x+1)
Le paramètre fixe est a. Les deux variables sont b et x.
Pour une valeur a fixée quelconque, existe-t-il toujours un couple de valeurs b, x ?
Y a-t-il eu des études sur le sujet ? Si oui, auriez-vous des références, voire des résultats ?
Il y a des cas sans solutions quand a2+b2 est un nombre premier, mais pour une valeur a donnée, y a-t-il toujours un couple de valeurs b, x ?
Merci
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Réponses
Pierre.
Bravo et merci Pierre.
Il faut b <= x, on peut poser k = x-b
On trouve alors comme condition que a² + k² = 0 [2k+1]
On constate que, à part la solution triviale k=0, si 2k+1 = premier de la forme 4n+1, il y a solution pour une certaine valeur de "a" modulo 2k+1.
L'idée principale est de pouvoir affirmer qu'il existe une infinité de valeur de "a" telle qu'il n'y ait pas d'autres solutions que celle triviale.
Comment peut-on s'y prendre pour l'affirmer ?
Merci
$x=b=a^2$ ou $x=a, b=\sqrt{a}$ pour $a$ un carré.
Le nombre de solutions est fini (pour $a$ donné).
Merci pour cette réponse.
On a l'équation suivante donnée par nodgim : a² + k² =(2k+1)*(k+b)
nodgim a indiqué que "si 2k+1 = premier de la forme 4n+1, il y a une solution pour une certaine valeur de "a" modulo 2k+1"
Or k, b sont des variables, seule "a" est une valeur fixe.
Quelle condition me permet d'affirmer qu'il existe une infinité de valeurs "a" pour lesquelles une seule solution est possible ?
Merci par avance pour votre réponse.
.
Pour $x\in \Z$ solution, il existe toujours une autre solution $-x-1\in \Z.$
Je suis désolé, mais j'ai oublié de donner une autre contrainte.
En effet, on a également la valeur finale N=(2x+1)2 d'où les deux solutions sont équivalentes.
Je cherche des valeurs différentes.
merci
On a $a^2+b^2=x(x+1)$. On suppose $a\geq 0$ et on cherche $b,x$ dans $\Z.$
J’ai trouvé les solutions :
$(x=a^2, b=\pm a^2)$, $(x=-a^2-1, b=\pm a^2)$
$(x=a, b=\pm \sqrt{a})$, $(x=-a-1,b=\pm \sqrt{a})$ pour $a$ un carré.
Même si on suppose que $b,-b$ font partie d’une meme famille de solutions ; de même que $x$ et $-x-1$, j’ai trouvé deux familles.
Mais dans la deuxième famille, "a" doit être un carré. Cela signifie qu'il existe toujours aux moins deux solutions si a est un carré.
Mais pour les autres valeurs de "a", est-ce également vrai ?
De manière plus générale, ma question est de savoir si il existe une infinité de valeur "a" pour lesquelles il n'existe qu'une seule solution/famille ?
merci
On a nécessairement $(2x+1)^2-(2b)^2=1+(2a)^2$, et donc pour $p=1+4a^2$ premier, on a nécessairement la famille $x=b$ et $b=a^2$ comme solution unique (avec $b>0$).
Donc il suffit de montrer qu’il existe une infinité de premiers de la forme $1+4a^2$ pour répondre par l’affirmative...
> Donc il suffit de montrer qu’il existe une infinité de premiers de la forme $1+4a^2$ pour répondre par l’affirmative...
Au oui, y a plus qu'à ...
Il s’agit du quatrième problème de Landau : conjecture non encore démontrée.
Si $1+(2a)^2$ n’est pas un premier, alors la solution $(x,b)$ (si elle existe), n’est pas unique.
Pour obtenir l’unicité de la solution $(x,b)$ il est donc nécessaire que $1+4a^2$ soit premier.
On cherche une condition pour qu’il existe une infinité de solutions uniques, il faut donc qu’il existe une infinité de premiers $p$ tels que $p-1$ soit un carré parfait.
Ça répond à la question posée, non ?
Mon ´il suffit’ est un encouragement à chercher... et peut-être que la question posée est reliée à cette conjecture...
La suite a été enregistrée dans l'OEIS, et même trois fois : https://oeis.org/A140612, https://oeis.org/A160053, https://oeis.org/A073613, mais hélas sans renseignement sur ces nombres.
Bonne journée.