Proportion de zéros simples de zeta
dans Arithmétique
Bonjour,
A-t-on amélioré le résultat de Gonek et al. montrant que sous RH, au moins 19/27 des zéros non triviaux sont simples ?
A-t-on amélioré le résultat de Gonek et al. montrant que sous RH, au moins 19/27 des zéros non triviaux sont simples ?
Réponses
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Ce qui est intéressant c'est la méthode, la constante n'a a priori aucun intérêt
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Si tu fais allusion au papier de Conrey, Ghosh & Gonek de 1998, ils ont eu besoin de l'hypothèse de Riemann et de l'hypothèse de Lindelöf généralisée (i.e. hypothèse de Lindelöf pour les fonctions $L$).
En 2013, Bui & Heath-Brown ont montré que cette dernière hypothèse est superflue : https://arxiv.org/pdf/1302.5018.pdf
À ma connaissance, ça n'a pas été amélioré depuis. -
J'ai du mal à me représenter ce qu'est leur fonction $\zeta'(s) B(s)$ avec $B(s) = B_y(s)= \sum_n \mu(n) a_y(n)$
où $a_y(n) = P(\frac{\log(n/y)}{\log (y)}) 1_{n\le y}$ est une approximation lisse de $1_{n \le y}$ (on peut aussi prendre $ a_y(n) = e^{-n/y}$) donc $B_y(s)$ est entière.
Sous RH :
$\zeta'(s)B_y(s) \to \zeta'(s)/\zeta(s)$ localement uniformément sur $\Re(s) > 1/2$, mais que penser du comportement aux zéros non-triviaux ?
Ou bien peut-être que pour évaluer $\sum_{|\Im(\rho)| \le T} \zeta'(\rho)B_y(\rho)$ ils utilisent le théorème des résidus $\int_{C_T} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \zeta'(s) B_y(s)ds$ et avec l'équation fonctionnelle ils se ramènent à deux intégrales sur $\sigma+i[0,T]$ avec $\sigma > 1/2$ où on peut vraiment approximer $B_y(s)$ par $1/\zeta(s)$. -
Oui, c'est ta seconde supposition qui est exacte : https://web.math.rochester.edu/people/faculty/gonek/SimpleZeros.pdf
À noter :
(i) Les auteurs du papier ci-dessus indiquent en remarque qu'ils n'avaient pas pris en compte GLH au début de leur travail (ils ont en fait besoin d'une forme plus faible que GLH, à savoir une estimation sur les $6$ème moments des fonctions $L$). C'est le referee qui a repéré l'oubli. De là à dire que le referee était Heath-Brown...
(ii) La différence essentielle entre les deux articles est que, dans le $1$er, les auteurs utilisent l'identité classique de Vaughan, alors que, dans le second, les auteurs utilisent l'extension de cette identité due à Heath-Brown, connue pour être plus flexible que l'autre. -
Merci à tous les deux.
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Leur abstract est plus ou moins trivial quand on sait prouver le PNT.
Rien à voir avec l'article de noix de totos qui utilise des méthodes similaires à celles qui estiment la proportion de zéros sur $\Re(s) = 1/2$
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Bonjour!
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