Proportion de zéros simples de zeta

Ce qui est intéressant c'est la méthode, la constante n'a a priori aucun intérêt

J'ai du mal à me représenter ce qu'est leur fonction $\zeta'(s) B(s)$ avec $B(s) = B_y(s)= \sum_n \mu(n) a_y(n)$

où $a_y(n) = P(\frac{\log(n/y)}{\log (y)}) 1_{n\le y}$ est une approximation lisse de $1_{n \le y}$ (on peut aussi prendre $ a_y(n) = e^{-n/y}$) donc $B_y(s)$ est entière.

Sous RH :

$\zeta'(s)B_y(s) \to \zeta'(s)/\zeta(s)$ localement uniformément sur $\Re(s) > 1/2$, mais que penser du comportement aux zéros non-triviaux ?

Ou bien peut-être que pour évaluer $\sum_{|\Im(\rho)| \le T} \zeta'(\rho)B_y(\rho)$ ils utilisent le théorème des résidus $\int_{C_T} \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} \zeta'(s) B_y(s)ds$ et avec l'équation fonctionnelle ils se ramènent à deux intégrales sur $\sigma+i[0,T]$ avec $\sigma > 1/2$ où on peut vraiment approximer $B_y(s)$ par $1/\zeta(s)$.

Leur abstract est plus ou moins trivial quand on sait prouver le PNT.

Rien à voir avec l'article de noix de totos qui utilise des méthodes similaires à celles qui estiment la proportion de zéros sur $\Re(s) = 1/2$