Partie de $\Bbb Q$ dense dans $\Bbb Q_p$
dans Arithmétique
Bonsoir,
Une partie de $\Bbb Q$ dense dans tous les $\Bbb Q_p$ est-elle dense dans $\Bbb Q$?
J'ai l'impression que non mais je peux bien me tromper.
Bonne soirée.
Une partie de $\Bbb Q$ dense dans tous les $\Bbb Q_p$ est-elle dense dans $\Bbb Q$?
J'ai l'impression que non mais je peux bien me tromper.
Bonne soirée.
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Réponses
est-ce que les $\Bbb Q_p$ vivent dans un même monde ?
l'intersection des $\Bbb Q_p$ c'est $\Bbb Q$
autrement dit: peut-on avoir un ensemble dense dans tous les $\Bbb Q_p$ , est ce que ça existe ?
tu as un exemple ?
Pour chaque $p$, on dispose d'un plongement (continu d'image dense) $\sigma_p$ de $\mathbf{Q}$ dans $\mathbf{Q}_p$. Une partie de $\mathbf{Q}$ dont les images via les $\sigma_p$ sont denses dans les $\mathbf{Q}_p$ est-elle dense dans $\mathbf{Q}$?
Si on veut, on peut voir les $\mathbf{Q}_p$ comme inclus dans un même corps donc la réponse à ta première question est oui.
La réponse à ta deuxième question est également oui, à savoir $\mathbf{Q}$.
Ajout: D'ailleurs, l'intersection des $\mathbf{Q}_p$ peut tout à fait être vide.
Ajout: @GBZM: voyons, le lecteur est suffisamment grand pour rectifier le tir B-)-
Que $B \subset \Q$ soit dense pour tout $p$ dans $\Q_p$ n'implique pas que $B$ soit dense dans $\Q$ (pour la valeur absolue usuelle) puisque $B$ peut très bien être contenu dans $[1,\infty[\, \cap \Q$.
Quid du cas où $A,B$ sont des sous-groupes additifs ?
Un sous-groupe propre de $\mathbf{Z}$ est engendré par un entier $n>1$. Si $p$ est un premier divisant $n$, alors $n\mathbf{Z}$ n'est pas dense dans $\mathbf{Z}_p$ (parce qu'il n'y a aucun élément de $p$-valuation nulle dans $n\mathbf{Z}$ !).
Pour ce qui est des sous-groupes additifs de $\mathbf{Q}$, on sait les décrire. En fait, il est facile de décrire les sous-groupes de $\mathbf{Q}$ contenant $1$ et de montrer que tout-sous groupe propre de $\mathbf{Q}$ est inclus dans un sous-groupe propre de $\mathbf{Q}$ contenant $1$ (je ne donne pas les détails au cas où tu voudrais y réfléchir). Enfin, un sous-groupe propre de $\mathbf{Q}$ contenant $1$ n'est pas dense dans tous les $\mathbf{Q}_p$ (penser au même argument que le paragraphe précédent: il y a une élément d'un groupe de valuation qui saute!).
Mon indication c'est de montrer que si $C $ est un sous-groupe de $\Q$ alors $C$ est dense dans $\Z_p$ ssi $C \cap \Z$ est dense dans $\Z_p$.
À partir de là c'est facile puisque $B$ est un sous-groupe de $\Q$ dense dans tous les $\Q_p$
ssi pour tout $q^k,\ q^k B$ est dense dans tous les $\Z_p$
ssi pour tout $q^k,\ q^k B\cap \Z$ est dense dans tous les $\Z_p$
ssi pour tout $q^k,\ q^k B\cap \Z = \Z$
ssi pour tout $q^k,\ q^{-k} \in B$
ssi $B = \Q$.
Si on choisit $i$ tel que $m_i<\infty$, alors pour tout $x$ dans $H$ on a $v_{p_i}(x)\geq -m_i$. En particulier, $H$ n'est pas dense $\mathbf{Q}_{p_i}$.
Un sous-groupe $G$ de $\Q$ est toujours de la forme $G = \bigcup_{n\ge 0} H_n$ avec $H_n \supset H_{n-1}$ une suite de sous-groupes finiment générés [engendrés], donc $H_n = x_n \Z \supset x_{n-1} \Z$ et $x_n = \frac{x_{n-1}}{c_n}$ avec $c_n \in \Z$ et $$G = \bigcup_{n\ge 0} \frac{x_0}{\prod_{m \le n} c_m} \Z
$$ $G$ est dense dans tous les $\Q_p$ ssi pour tout $p,\,k$ il existe $n$ tel que $v_p\Big(\dfrac{x_0}{\prod_{m \le n} c_m}\Big) \le -k$.
Si c'est le cas alors pour $n$ suffisamment grand $\dfrac{\prod_{m \le n} c_m}{x_0}$ est entier et tout entier le divise toujours pour $n$ suffisamment grand, et donc $G = \Q$.
J'ai affirmé sans démontrer parce que c'est un petit exercice. Veux-tu que je développe?
Il me semble là encore que la réponse est non.
https://wstein.org/129/ant/html/node71.html
traduction: si on choisit des éléments d'un nombre fini de complétions de $\mathbf{Q}$, alors on peut les approcher simultanément par un rationnel.
Le théorème fort dit que si $v$ est une place de $\mathbf{Q}$, alors $\mathbf{Q}$ est dense dans l'anneau des adèles de $\mathbf{Q}$ en dehors de $v$. (on peut remplacer $\mathbf{Q}$ par n'importe quel corps global)
traduction: on peut faire comme dans le cas précédent en contrôlant ce qui se passe en dehors des complétions où on a choisi nos éléments, à ceci près que ce contrôle échappe à une place qu'on se fixe au départ.
En fait, je cherche une partie de $\mathbf{Q}$ dense dans le produit des $\mathbf{Q}_p$ mais pas dans $\mathbf{Q}$ et l'approximation faible ne répond pas à ma question puisque $\mathbf{Q}$ est dense dans $\mathbf{Q}$.
Alors $\lim_{n \to \infty} (\frac{N_k}{p})^{ep^n}$ converge vers $1$ dans $\Q_p$ et vers $0$ dans les autres $\Q_q, q \le k$.
Donc si $x_p \in [1,\infty) \cap \Q$ approxime $y_p \in \Q_p$ alors $\sum_{p \le k}(\frac{N_k}{p})^{ep^n} x_p \in [1,\infty) \cap \Q$ approxime $y \in \prod_{p \le k} \Q_p$
[small][small][small](un petit détail: on n'approxime pas, on approche)[/small][/small][/small]
ça converge parce que $g^{p^n}-g^{p^{n+1}} = g^{p^n}(1- (g^{p-1})^{ p^n})$
Autre question bonus: montrer que les seules racines de l'unité dans $\mathbf{Z}_p$ sont les racines $(p-1)$-ième de l'unité si $p$ impair et $+-1$ sinon.
> En fait, je cherche une partie de $\mathbf{Q}$ dense dans le produit des $\mathbf{Q}_p$ mais pas
> dans $\mathbf{Q}$ et l'approximation faible ne répond pas à ma question puisque $\mathbf{Q}$
> est dense dans $\mathbf{Q}$.
L'approximation faible ne dit-elle pas que tout intervalle ouvert de $\mathbb Q$ est dense dans le produit des $\mathbb Q_p$ ?
L'idée étant de dire (pour $p $ impair) que si $a_n-1 =O(p^n)$ donc $a_n-1= b_n p^n+ O(p^{n+1})$ alors $a_{n+1} = a_n (1+p)^{b_n p^{n-1}} , a_{n+1}-1 = O(p^{n+1})$
donc $a_1 = \prod_{n \ge 1} (1+p)^{-b_n p^{n-1}} =(1+p)^{-B}, B= \sum_{n \ge 1} b_n p^{n-1} \in \Z_p$