Système diophantien
Bonjour
Trouver toutes les solutions entières (naturelles) du système : $$\displaystyle \begin{cases}\ x\mid y^2+1\\ \ y\mid x^2+1.\end{cases}
$$ J’ai trouvé les solutions mais je suis curieux de voir d’autres approches.
Trouver toutes les solutions entières (naturelles) du système : $$\displaystyle \begin{cases}\ x\mid y^2+1\\ \ y\mid x^2+1.\end{cases}
$$ J’ai trouvé les solutions mais je suis curieux de voir d’autres approches.
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Réponses
Et $(1,1)$... comment fais-tu ? Ma solution est assez pénible.
Si on suppose qu'il existe un couple solution autre (b,c), b < c , alors on montre qu'il existe a < b tel que (a,b) est aussi un couple solution. Par une descente infinie, on aboutira fatalement à la suite déjà décrite.
Soit $a$ tel que $b^2+1=ac$. On a $ac\equiv 1\pmod{b}$. De plus $b\mid c^2+1$ donc $c^2\equiv -1\pmod{b}$. On en déduit que $a^2\equiv -1\pmod{b}$ donc $(a,b)$ est une autre solution avec $a\leqslant b$.
La partie pénible de ma démonstration est pour montrer qu’on a obtenu toutes les solutions.
@nodgim : la descente infinie me paraît un argument vaseux. Ou je ne le comprends pas...
@JLT : comment montres-tu que tu as toutes les solutions ?
On suppose que $$\quad\displaystyle \begin{cases}\ x\mid y^2+1\\ \ y\mid x^2+1.\end{cases}
$$ Il existe à et b tels que $y^2+1=ax$ et $x^2+1=by$
donc $yx^2+y=by^2$ et $xy^2+x=ax^2$
donc $yx^2+y=b(ax-1)$ et $xy^2+x=a(by-1)$
donc $yx^2-abx+y+b=0$ et $xy^2-aby+x+a=0$
donc il existe c et d entiers tels que $a^2b^2-4y(y+b)=c^2$ et $a^2b^2-4x(x+a)=d^2$
donc $a^2b^2-4yb-4y^2-c^2=0$ et $b^2a^2-4xa-4x^2-d^2=0$
Il existe e et f tels que $4y^2+a^2(4y^2+c^2)=e^2$ et $4x^2+b^2(4x^2+d^2)=f^2$
donc $(2y)^2+(2ay)^2+(ac)^2=e^2$ et $(2x)^2+(2bx)^2+(bd)^2=f^2$
Nous avons le paramétrage suivant
$(m^2-n^2-p^2)^2+(2mn)^2+(2mp)^2=(m^2+n^2+p^2)^2$
doc on peut prendre
$y=mn$ et $ay=mp$ soit $amn=mp$ $a=p/n$
$ac=m^2-n^2-p^2$
Je n’ai pas trouvé l’origine du problème, mais ça ressemble à
Mediterranean Mathematical Competition 2002
https://imomath.com/othercomp/Gre/GreTST02.pdf
Une tentative de résolution
https://artofproblemsolving.com/community/c6h151582
Il y a aussi une variante https://artofproblemsolving.com/community/c6h2029876p14303379
Pacific J. Math. 3 (1953), 209-220
https://projecteuclid.org/journals/pacific-journal-of-mathematics/volume-3/issue-1/A-system-of-quadratic-Diophantine-equations/pjm/1103051516.pdf