"Richesse" en nombres premiers

Tu peux regarder du côté des nombres frugaux ou extravagants.

Il y a évidemment les fonctions additives $\omega$ et $\Omega$ qui font le job.

La fonction $\omega$, resp. $\Omega$, compte le nombre de facteurs premiers de $n$ sans, resp. avec, multiplicité.

Poirot a écrit:

sinon noix de totos pourra sûrement donner pleins de résultats intéressants à son sujet

Oui, je peux. 8-)

Mais il faudrait que Totem fasse des demandes précises.

Totem a écrit:

Quant à la théorie analytique des nombres... je ne sais pas ce que c'est...

Moi, je sais...

Bon, vu ta question, on peut utiliser la fonction $\omega$ définie par $\omega(1) = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$, par
$$\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1.$$
Je rappelle qu'en théorie des nombres, par convention, une somme ou un produit indicé par la lettre $p$ ne porte que sur des nombres premiers. Ainsi, $\omega(n)$ donne le nombre de facteurs premiers de $n$, comptés sans multiplicité. Par exemple, $\omega(8) = 1$, $\omega(2 \times 3^7 \times 5^{24} \times 19) = 4$, etc.

On voit facilement que $\omega$ est additive, i.e. $\omega(mn) = \omega(m) + \omega(n)$ dès que $\textrm{pgcd}(m,n) = 1$, et que $\omega$ est fortement additive, i.e. elle est additive et, pour toute puissance première $p^\alpha$, on a $\omega \left( p^\alpha \right) = \omega(p)$.

Vue ta question initiale, on pourrait alors, par exemple, définir les nombres riches de la manière suivante :

Définition. Un entier $n \geqslant 2$ est dit riche si, pour tout $m < n$, on a $\omega(m) \leqslant \omega(n)$.

Cette définition est à rapprocher de celle des entiers hautement composés, introduits au début du siècle par Ramanujan, pour étudier la fonction $\tau$ nombre de diviseurs, définition qui ensuite a été généralisée par Nicolas, Robin, Duras.

Une classe d'équivalence ? Non, tu comptes $1$ à chaque fois que tu as un nombre premier qui divise $n$. C'est une simple fonction de comptage.

Comme dit ci-dessus, cette définition est inspirée de celle de Ramanujan, bien connue des arithméticiens. Peut-être la "mienne" a-t-elle déjà existé (très certainement, d'ailleurs), mais, là, je n'en ai pas le souvenir.

Une question pratique @ Totem, comme ça en passant : Quel est le plus petit w(1) plus grand que le plus petit w(6) ?

Tu peux aussi regarder du côté de la fonction de Von Mangoldt $\Lambda$.

@noix de totos : j'ai moi-même un peu de mal à m'y faire...quand je dis à des jeunes (moins de 25 ans) que j'ai eu mon bac au vingtième siècle, je passe pour un dinosaure...

@ Totem :

C'est vrai que la question est très mal posée. Quel est le plus petit entier n dont w(n) = 1 plus grand que le plus petit entier m dont w(m) = 6 ?

@ Sylvain
https://fr.wikipedia.org/wiki/Siècle

Merci Chaurien. J'ai donc moi aussi vécu plus longtemps au 20ème siècle.

Oui. Parce que tout entier compris entre $2$ et $16$ est divisible par un (au moins) des six premiers dont tu as pris le produit, alors que $17$ est premier.

Méthode d'Euclide : 30030+r - 30030 = r.

Cordialement

Si $d$ divise $a$ et $b$ il divise $au+bv$ pour tout couple $(u,v)$ d'entiers relatifs.

Pas vraiment, plutôt une histoire d'idéal dans $\mathbb Z$. Le pgcd de $a$ et $b$ est l'unique générateur positif de l'idéal $a \mathbb Z + b\mathbb Z$. En particulier, puisque $30030\mathbb Z + (30030 + r) \mathbb Z = 30030\mathbb Z + r\mathbb Z$, on retrouve bien la relation dont tu parles.