"Richesse" en nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour
Existe-t-il une grandeur mathématique caractérisant la "richesse" en nombres premiers d'un nombre ?
Par exemple, $729=3^6$ serait "pauvre" en nombres premiers, tandis que $1155=3\times 5\times 7\times 11$ serait plus "riche" en nombres premiers que $729$.
Mais il faudrait plutôt comparer de façon relative plutôt qu'absolue, au moins les ordres de grandeur des nombres à comparer sinon ça n'a pas grand sens... ?
Par exemple comparer des "richesses" de nombres "voisins" (à définir ?) comme $243=3^5$ et $210=2\times 3\times 5\times 7$.
Existe-t-il une grandeur mathématique caractérisant la "richesse" en nombres premiers d'un nombre ?
Par exemple, $729=3^6$ serait "pauvre" en nombres premiers, tandis que $1155=3\times 5\times 7\times 11$ serait plus "riche" en nombres premiers que $729$.
Mais il faudrait plutôt comparer de façon relative plutôt qu'absolue, au moins les ordres de grandeur des nombres à comparer sinon ça n'a pas grand sens... ?
Par exemple comparer des "richesses" de nombres "voisins" (à définir ?) comme $243=3^5$ et $210=2\times 3\times 5\times 7$.
Réponses
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Tu peux regarder du côté des nombres frugaux ou extravagants.
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OK merci pour l'info :-D
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Il y a évidemment les fonctions additives $\omega$ et $\Omega$ qui font le job.
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Euh...peux-tu expliciter stp :-S
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La fonction $\omega$, resp. $\Omega$, compte le nombre de facteurs premiers de $n$ sans, resp. avec, multiplicité.
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OK merci, intéressant.
Y a-t-il une répartition aléatoire de $\omega$ avec $n$ ? Je dirais que c'est une fonction croissante mais l'indicatrice d'Euler me fait douter. -
$\omega$ n'est bien sûr pas croissante puisque si $p \geq 5$ est premier et $p-1$ n'est pas une puissance de $2$, on $\omega(p)=1$ alors que $\omega(p-1) \geq 2$...
C'est une fonction très étudiée par les théoriciens analytiques des nombres. Tu trouveras pas mal de résultats dessus dans l'Introduction à la théorie des nombres de Hardy et Wright, ou l'Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres de Gérald Tenenbaum. Ou sinon noix de totos pourra sûrement donner pleins de résultats intéressants à son sujet :-D -
Poirot a écrit:sinon noix de totos pourra sûrement donner pleins de résultats intéressants à son sujet
Oui, je peux. 8-)
Mais il faudrait que Totem fasse des demandes précises. -
Euh précis...ça va être difficile !
C'était de la curiosité, je travaille sur la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers (niveau L1 !), je me suis posé cette question :-)
Quant à la théorie analytique des nombres... je ne sais pas ce que c'est... -
Totem a écrit:Quant à la théorie analytique des nombres... je ne sais pas ce que c'est...
Bon, vu ta question, on peut utiliser la fonction $\omega$ définie par $\omega(1) = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$, par
$$\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1.$$
Je rappelle qu'en théorie des nombres, par convention, une somme ou un produit indicé par la lettre $p$ ne porte que sur des nombres premiers. Ainsi, $\omega(n)$ donne le nombre de facteurs premiers de $n$, comptés sans multiplicité. Par exemple, $\omega(8) = 1$, $\omega(2 \times 3^7 \times 5^{24} \times 19) = 4$, etc.
On voit facilement que $\omega$ est additive, i.e. $\omega(mn) = \omega(m) + \omega(n)$ dès que $\textrm{pgcd}(m,n) = 1$, et que $\omega$ est fortement additive, i.e. elle est additive et, pour toute puissance première $p^\alpha$, on a $\omega \left( p^\alpha \right) = \omega(p)$.
Vue ta question initiale, on pourrait alors, par exemple, définir les nombres riches de la manière suivante :
Définition. Un entier $n \geqslant 2$ est dit riche si, pour tout $m < n$, on a $\omega(m) \leqslant \omega(n)$.
Cette définition est à rapprocher de celle des entiers hautement composés, introduits au début du siècle par Ramanujan, pour étudier la fonction $\tau$ nombre de diviseurs, définition qui ensuite a été généralisée par Nicolas, Robin, Duras. -
Une classe d'équivalence ? Non, tu comptes $1$ à chaque fois que tu as un nombre premier qui divise $n$. C'est une simple fonction de comptage.
Comme dit ci-dessus, cette définition est inspirée de celle de Ramanujan, bien connue des arithméticiens. Peut-être la "mienne" a-t-elle déjà existé (très certainement, d'ailleurs), mais, là, je n'en ai pas le souvenir. -
Une question pratique @ Totem, comme ça en passant : Quel est le plus petit w(1) plus grand que le plus petit w(6) ?
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Tu peux aussi regarder du côté de la fonction de Von Mangoldt $\Lambda$.
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@ Totem :
C'est vrai que la question est très mal posée. Quel est le plus petit entier n dont w(n) = 1 plus grand que le plus petit entier m dont w(m) = 6 ? -
C'est $p_{3249} = 30047$.
@Sylvain : pour l'instant, j'ai (encore) passé plus de temps au 20ème siècle qu'au 21ème, donc, pour moi, la référence reste le 20ème. Du reste, j'avoue avoir du mal à me faire à "l'époque actuelle"... -
Comme $30030+r$ premier implique $(30030,r)=1$ on peut commencer par tester $r=1$. Si ça ne convient pas la prochaine valeur à tester est $r=17$.
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Merci Chaurien. J'ai donc moi aussi vécu plus longtemps au 20ème siècle.
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Oui. Parce que tout entier compris entre $2$ et $16$ est divisible par un (au moins) des six premiers dont tu as pris le produit, alors que $17$ est premier.
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OK merci.
Par contre je ne me souviens plus pourquoi $pgcd (30030;30030+r)=pgcd (30030;r)$ ? -
Méthode d'Euclide : 30030+r - 30030 = r.
Cordialement -
gerard0 mon sauveur !! merci mais j'attendais tes sarcasmes ! :-D
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Si $d$ divise $a$ et $b$ il divise $au+bv$ pour tout couple $(u,v)$ d'entiers relatifs.
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Dîtes-moi si je me trompe (je vous fais confiance pour ça ;-)) , il n' y a pas une histoire d'anneau-quotient là-dessous ?
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Pas vraiment, plutôt une histoire d'idéal dans $\mathbb Z$. Le pgcd de $a$ et $b$ est l'unique générateur positif de l'idéal $a \mathbb Z + b\mathbb Z$. En particulier, puisque $30030\mathbb Z + (30030 + r) \mathbb Z = 30030\mathbb Z + r\mathbb Z$, on retrouve bien la relation dont tu parles.
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Ah ok d'accord. Les idéaux qui absorbent...je vais aller y voir.
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