"Richesse" en nombres premiers
dans Arithmétique
Bonjour
Existe-t-il une grandeur mathématique caractérisant la "richesse" en nombres premiers d'un nombre ?
Par exemple, $729=3^6$ serait "pauvre" en nombres premiers, tandis que $1155=3\times 5\times 7\times 11$ serait plus "riche" en nombres premiers que $729$.
Mais il faudrait plutôt comparer de façon relative plutôt qu'absolue, au moins les ordres de grandeur des nombres à comparer sinon ça n'a pas grand sens... ?
Par exemple comparer des "richesses" de nombres "voisins" (à définir ?) comme $243=3^5$ et $210=2\times 3\times 5\times 7$.
Existe-t-il une grandeur mathématique caractérisant la "richesse" en nombres premiers d'un nombre ?
Par exemple, $729=3^6$ serait "pauvre" en nombres premiers, tandis que $1155=3\times 5\times 7\times 11$ serait plus "riche" en nombres premiers que $729$.
Mais il faudrait plutôt comparer de façon relative plutôt qu'absolue, au moins les ordres de grandeur des nombres à comparer sinon ça n'a pas grand sens... ?
Par exemple comparer des "richesses" de nombres "voisins" (à définir ?) comme $243=3^5$ et $210=2\times 3\times 5\times 7$.
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Réponses
Y a-t-il une répartition aléatoire de $\omega$ avec $n$ ? Je dirais que c'est une fonction croissante mais l'indicatrice d'Euler me fait douter.
C'est une fonction très étudiée par les théoriciens analytiques des nombres. Tu trouveras pas mal de résultats dessus dans l'Introduction à la théorie des nombres de Hardy et Wright, ou l'Introduction à la théorie analytique et probabiliste des nombres de Gérald Tenenbaum. Ou sinon noix de totos pourra sûrement donner pleins de résultats intéressants à son sujet :-D
Oui, je peux. 8-)
Mais il faudrait que Totem fasse des demandes précises.
C'était de la curiosité, je travaille sur la décomposition d'un entier en produit de facteurs premiers (niveau L1 !), je me suis posé cette question :-)
Quant à la théorie analytique des nombres... je ne sais pas ce que c'est...
Bon, vu ta question, on peut utiliser la fonction $\omega$ définie par $\omega(1) = 0$ et, pour tout $n \in \mathbb{Z}_{\geqslant 2}$, par
$$\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1.$$
Je rappelle qu'en théorie des nombres, par convention, une somme ou un produit indicé par la lettre $p$ ne porte que sur des nombres premiers. Ainsi, $\omega(n)$ donne le nombre de facteurs premiers de $n$, comptés sans multiplicité. Par exemple, $\omega(8) = 1$, $\omega(2 \times 3^7 \times 5^{24} \times 19) = 4$, etc.
On voit facilement que $\omega$ est additive, i.e. $\omega(mn) = \omega(m) + \omega(n)$ dès que $\textrm{pgcd}(m,n) = 1$, et que $\omega$ est fortement additive, i.e. elle est additive et, pour toute puissance première $p^\alpha$, on a $\omega \left( p^\alpha \right) = \omega(p)$.
Vue ta question initiale, on pourrait alors, par exemple, définir les nombres riches de la manière suivante :
Définition. Un entier $n \geqslant 2$ est dit riche si, pour tout $m < n$, on a $\omega(m) \leqslant \omega(n)$.
Cette définition est à rapprocher de celle des entiers hautement composés, introduits au début du siècle par Ramanujan, pour étudier la fonction $\tau$ nombre de diviseurs, définition qui ensuite a été généralisée par Nicolas, Robin, Duras.
Je ne connaissais pas la fonction de comptage avec les $p|n$, n' y aurait-il pas une classe d'équivalence là-dessous?
Ta définition d'entier "riche" est homologuée ou tu l'as juste créée pour moi ? :-)
Comme dit ci-dessus, cette définition est inspirée de celle de Ramanujan, bien connue des arithméticiens. Peut-être la "mienne" a-t-elle déjà existé (très certainement, d'ailleurs), mais, là, je n'en ai pas le souvenir.
$w(1)=1$, $w(6)=2$ à part ça...:-S
@noix de totos: la propriété d'additivité m'évoque un peu la fonction logarithme...c'est un hasard je suppose ?
@Totem : $\omega(1)=0$ comme indiqué" ci-dessus. Quant à la fonction logarithme, elle aussi est (complètement) additive.
La question de nodgim devient : "quel est le plus petit $0$ plus grand que le plus petit $2$ ?" On ne peut pas dire que se soit limpide :-S
C'est vrai que la question est très mal posée. Quel est le plus petit entier n dont w(n) = 1 plus grand que le plus petit entier m dont w(m) = 6 ?
@Sylvain : pour l'instant, j'ai (encore) passé plus de temps au 20ème siècle qu'au 21ème, donc, pour moi, la référence reste le 20ème. Du reste, j'avoue avoir du mal à me faire à "l'époque actuelle"...
Ok il suffit de faire $\prod_{i=1}^6 p_i = 2*3*5*7*11*13=30030$
@nodgim : merci d'avoir reformulé :-)
https://fr.wikipedia.org/wiki/Siècle
Pourquoi la valeur suivante est $17$ ?
Par contre je ne me souviens plus pourquoi $pgcd (30030;30030+r)=pgcd (30030;r)$ ?
Cordialement