La conjecture de k-uple de Hardy&Littlewood

Réponses

• reuns

  August 2019

  Pour la 4ème fois tu as besoin du modèle aléatoire des nombres premiers pour passer de l'asymptotique pour $\sum_{n \le N_r} 1_{\forall j \le J, \gcd(n+k_j, N_r)=1}$ où $N_r =\prod_{p\le r}p$ à la prédiction de l'asymptotique du nombre de $n$ tels que tous les $n+k_j$ sont premiers.
  
  Regarde http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?43,1845512,1847344#msg-1847344 pour le cas $k_0=1,k_2=2$ des nombres premiers jumeaux
  
  De plus tu devrais éviter les multiples fonctions avec plein de paramètres et utiliser des notations du même genre que la mienne.
  
  Pour l'asymptotique de $\sum_{n \le N_r} 1_{\forall j \le J, \gcd(n+k_j, N_r)=1}$, le théorème de Mertens dit que $\sum_{p \le x} p^{-1} =C+o(1)+ \ln \ln x$ donc $\prod_{p \le x} (1-p^{-1}) = \exp(-\sum_{p \le x} p^{-1}) +\sum_{p \le x}\log (1-p^{-1})+p^{-1})$ $ = \exp(-C+o(1)- \ln \ln x+ A+O(x^{-1})) = e^{A-C} \frac1{\ln x} \exp(o(1)) = e^{A-C} \ln x (1+o(1))$ où $A = \sum_p \log (1-p^{-1})+p^{-1}$
• Lagrida

  August 2019

  On considère la suite $a_i = n \pmod{p_i}$ avec $i\in\{1,2,\ldots,\pi(n^{\alpha})\}$ et $\alpha = e^{-\gamma} \approx 0.5614$.
  Soit $m=\pi(n^{\alpha}), t = p_m$.
  Pour dire que la suite $S(m)=\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$ possède des nombres aléatoires il faut que :
  1) Les éléments $(a_i)_{1 \leq i \leq m}$ sont Uniformément distribuées sur $[1,t]$.
  2) Les éléments de $(a_i)_{1 \leq i \leq m}$ sont indépendants, c-a-d pour $i \neq j$ il n y a aucune relation entre $a_i$ et $a_j$.
  
  La définition mathématique de "Les éléments $(a_i)_{1 \leq i \leq m}$ sont Uniformément distribuées sur $[1,t]$" est : $$
  \forall [\alpha, \beta[ \subset ]1,t[ \quad \frac{1}{m} \text{Card}\bigg[ S(m) \cap [\alpha, \beta[ \bigg] \approx \beta - \alpha.
  
  $$ Il est clair que beaucoup de discutions autour les deux conditions 1) et 2).
  Mais heureusement on peut considérer que la suite $S(m)$ possède des éléments pseudo-aléatoires, et d’ailleurs on utilise ce meme principe pour générer des suites pseudo aléatoires dans nos ordinateurs : Générateurs congruentiels linéaires
• Lagrida

  August 2019

  Pour le comportement asymptotique, j'ai une très belle élémentaire preuve:
  Pour $N_r =\displaystyle\prod_{p \le r}p$ je ne veux pas utilisé la formule $\displaystyle \sum_{n \leq x} 1_{\gcd(n, N_r)=1} = \displaystyle \sum_{n \leq x} \sum_{d|n, \, d|N_r} \mu(d)=\cdots$ qui est difficile à l'étendre pour les k uples.Soit $(q, q_1)\in \mathbb{P}^2$ tel que $q$ est le nombre premier suivant de $q_1$.
  Le but est de montrer que Pour $x \geq \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$ on a ($q \to +\infty$):
  $$\dfrac{1}{x} \displaystyle \sum_{n \leq x} 1_{\gcd(n, N_q)=1} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)}}$$
  Dans tous qui suit on a $x \geq \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$, je montre que ($q \to +\infty$):
  1) $\dfrac{1}{x} \displaystyle \sum_{n \leq x} 1_{\gcd(n, N_{q_1})=1} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p premier}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)}}$
  
  2) Pour $F(x) = \displaystyle \sum_{n \leq x} 1_{\gcd(n, N_{q_1})=1} - \displaystyle \sum_{n \leq x} 1_{\gcd(n, N_{q})=1}$ on a : $\lim_{q_1 \rightarrow +\infty} \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q_1 \\ \text{p prime}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)} }^{-1} \dfrac{F(x)}{x} = 0$.
  
  3) Conclusion: $\dfrac{1}{x} \displaystyle \sum_{n \leq x} 1_{\gcd(n, N_q)=1} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{1}{p}\right)}}$
  
  Voir la preuve ici: Le comportement asymptotiqueLa meme chose pour les k uples, soit $\mathcal{H}_k = (0,h_1,h_2,\cdots,h_{k-1})$ avec $0 < h_1 < \cdots < h_{k-1}$ des entiers paires.
  On a $\displaystyle \sum_{n \leq N_q} 1_{\forall \, 1 \leq i \leq k-1 \gcd(n, N_q)=\gcd(n+h_i, N_q)=1} = \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize (p-w(\mathcal{H}_k, p))}}$
  Avec $w(\mathcal{H}_k, p)$ est le nombre des classes différentes$\pmod{p}$ dans $\mathcal{H}_k$.
  
  Par les memes étapes je montre que pour $x \geq \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\normalsize p}}$, on a ($q \to +\infty$):
  $$\dfrac{1}{x} \displaystyle \sum_{n \leq x} 1_{\forall \, 1 \leq i \leq k-1 \gcd(n, N_q)=\gcd(n+h_i, N_q)=1} \sim \displaystyle{\small \prod_{\substack{p \leq q \\ \text{p premier}}} {\left(\normalsize 1-\dfrac{w(\mathcal{H}_k, p)}{p}\right)} }$$