Divisibilité
dans Arithmétique
Bonjour, des pistes pour trouver les couples d'entiers $(a,b) \in \mathbb{N} $ tels que $ab^{2} +b+7$ divise $a^{2}b +a +b$.
Merci.
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Réponses
Plus 2 séries de couples :
- les couples de la forme (7*k,0)
- les couples de la forme (7*k², 7*k)
Démontrer que ces couples conviennent devrait être assez simple. Est-ce que ce sont les seuls couples, je ne sais pas.
Il y a un premier cas, $b=7k$, $a=7k^2$ qui convient.
Si $b^2\neq 7a$, comme $a\neq0$ on déduit $b^2<7a$ puis $b^2<7$.
Il reste à examiner les cas $0\leq b\leq2$ ce qui n'est pas compliqué.
On voit que cela s'écrit $b(ab+1)+7$ divise $a(ab+1)+b$, d'où l'idée d'éliminer le $ab+1$ par une combinaison linéaire.
Ensuite dans ce type d'exercices, on peut en général se limiter à étudier un petit nombre de cas comme ici.
par la suite $ ab^2+b+7$ divise $ b^2-7a$
On distingue trois cas
cas 1:$b^2-7a=0$ alors $ b=7m$ ,$ a=7m^2$ le couple $(7m^2,7m)$ est solution
cas 2: si $ b^2-7a>0$ alors $ ab^2+b+7\leq b^2-7a$ or $ b^2-7a<b^2$ on obtient une contradiction
cas 3 $ b^2-7a<0$ alors $ ab^2+b+7\leq 7a-b^2$ .C'est possible que si $ b^2<7$ d'où si $ b=1,b=2$
si $ b=1$ alors $a+8$ divise $ a^2+a+1$ comme $ a^2+a+1=a(a+8)-7(a+8)+57$ alors $ a+8$ divise $57$
par la suite $ a=11,a=49$
le cas b=2 on abtient $ 4a+9$ divise $a+22$ d'où $4a+9\leq a+22 $ donc $ a\leq 4$ aucune solution ne vérifie la relation
Les seules solutions sont $( 7m^2,7m),(11,1),(49,1),(7m,0)$