Quel est le cardinal de cet ensemble ?
dans Arithmétique
Bonjour
Pour $q$ un nombre premier soit $N_q = \displaystyle{\prod_{\substack{p \leq q \\ p\text{ prime}}} {\normalsize p}}$.
Soit $n$ un nombre impaire tel que : $N_q \leq n$
Utilisant le théorème des restes chinois je veux calculer le cardinal de l'ensemble $$
A_q(n) = \{(k_1,k_2,k_3) \in \mathbb{N}^3 \, | \, n=k_1+k_2+k_3 \text{ et } k_1\leq N_q \text{ et } \gcd(k_1,N_q) = \gcd(k_2,N_q) = \gcd(k_3,N_q) = 1\}.
$$ Merci.
Pour $q$ un nombre premier soit $N_q = \displaystyle{\prod_{\substack{p \leq q \\ p\text{ prime}}} {\normalsize p}}$.
Soit $n$ un nombre impaire tel que : $N_q \leq n$
Utilisant le théorème des restes chinois je veux calculer le cardinal de l'ensemble $$
A_q(n) = \{(k_1,k_2,k_3) \in \mathbb{N}^3 \, | \, n=k_1+k_2+k_3 \text{ et } k_1\leq N_q \text{ et } \gcd(k_1,N_q) = \gcd(k_2,N_q) = \gcd(k_3,N_q) = 1\}.
$$ Merci.
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Réponses
Pour tes problèmes le CRT c'est l'isomorphisme d'anneau $\Z/N_q \Z \to \prod_{p \le q}\Z/p \Z$ et de groupe $\Z/N_q \Z^\times \to \prod_{p \le q}\Z/p \Z^\times$ (les deux s'exprimant en terme de $a_p \equiv 1 \bmod p, \equiv 0 \bmod q$)
Si tu ajoutes des contraintes il faut qu'elles soient compatibles avec cet isomorphisme sinon le CRT ne sert pas.
Par exemple ce que le CRT permet de trouver c'est $\# \{(k_1,k_2,k_3) \in (\Z/N_{q+r}\Z)^3 \, | \, n=k_1+k_2+k_3\bmod N_{q+r}, \gcd(k_i,N_{q+r}) = c_i\}.$
Soit $n$ un nombre impaire tel que $n = k_1+k_2+k_3$.
Soit $p_i$ un nombre premier inférieur à $q$.
Le problème est que je n'arrive pas a déterminer l'unique inconnu pour trouver le nombre d'éléments qui vérifient le système:
$$\begin{array}{rcl}
k_1 & = & r_1 \pmod{p_i} \\
k_2 & = & r_2 \pmod{p_i}\\
k_3 & = & r_3 \pmod{p_i}
\end{array}$$
Avec $r_1,r_2,r_3 \neq \bar{0}$ dans $\mathbb{Z}/p_i\mathbb{Z}$.
Mais pour un nombre paire $m$ j'arrive a montrer que :
$$\#\{(k_1,k_2) \in \mathbb{N}^2 \, | \, m = k_1+k_2 , k_1 \leq N_q , \gcd(k_1, Nq)=\gcd(k_2, N_q)=1\} = \prod_{\substack{3 \leq p \leq q \\ \text{p prime, } p | m}} (p-1) \prod_{\substack{3 \leq p \leq q \\ \text{p prime, } p \nmid m}} {\normalsize (p-2)}$$
Puisque l'unique inconnu est $k$ (j'ai trouvé le nombre des couples $(k, n-k)$ premiers avec $N_q$ et $k \leq N_q$)