Définition du pgcd
dans Arithmétique
Bonsoir, je me posais la question de savoir pourquoi la notion de pgcd de $a,b \in \mathbb{Z}$ exclut inclut que $(a,b) \neq (0,0)$
Est-ce juste une convention ?
Merci pour vos réponses.
Est-ce juste une convention ?
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Réponses
La définition suivante donne pgcd(0,0) = 0.
[small]Ce fil a un bon potentiel de troll à la mode 0^0, qui vaut 1 comme chacun sait :-D[/small]
La bonne définition du pgcd n'exclut rien.
Merci & Désolé.
Soit tu autorises $0$, tu dis que $pgcd(a,b)=pgcd(a-b,b)=pgcd(g,0)$ ou encore $a\Z+b\Z = g\Z$ et dans ce cas dans le préordre de la divisibilité $0$ est le plus grand élément, tout entier divise $0$, et $0 = \lim_{n \to \infty} n!$
Vos définitions ne tranchent pas entre $+d$ et $-d$.
Proposition :
$$
PGDC\{ n_i \} := \text{Le plus grand entier divisant tous les } n_i
$$
$-$ Plus Grand Diviseur Commun...
$-$ Valable dans $\mathbb{N}$ et $\mathbb{Z}$
$-$ Simple !
Et dans le secondaire « plus grand » fait (tout le temps) référence à l’ordre $\leq$.
C’est pire dans le primaire-collège car on n’utilise plus d’inégalités sauf dans des histoires artificielles d’encadrements.
On trouve les magiques « Encadrer », « intercaler » etc.
Les programmes du collège ont même effacé tout ce qui concerne le travail sur les inégalités.
Il n’y a plus d’inéquations.
Il n’y a plus non plus (à vérifier !) les définitions de valeur approchée, troncature et arrondi.
Pour ne pas brusquer tout le monde, on retire le $0$ dans PGCD.
Ça paraît être du « pédagogisme » si je le présente comme ça (« ne pas brusquer ») mais il faut quand même dire qu’on se fout du $0$ à ce stade. On veut placer des fraises et des mûres sur des tartelettes.
Cela dit, au collège, il n’y a plus de PGCD.
Enfin, c’est comme le $0^0$ mentionné plus haut : le secondaire s’en fout, très honnêtement.
Je pense que ce n’est pas l’essentielle cause de l’effondrement mais ça y participe grandement, de manière parallèle.
« Ne pas oser déranger car c’est compliqué » est mortifère.
le premier ordinal après ceux qui sont finis.
Tandis qu'un ordinal est toujours totalement ordonné.