0 divise 0 ?

Il n'y a aucun obstacle à considérer que $0$ divise $0$.

Ce n'est pas pour autant que l'on peut considérer des quotients où $0$ est un dénominateur.

Le fait qu'à peu près le même mot soit employé (dans « $0$ divise $0$ » ou « $3$ divise $0$ » d'une part, dans « $1$ divisé par $0$ » d'autre part) n'entraîne pas qu'il soit employé dans le même sens. D'ailleurs c'est bien évident que ce n'est pas le même sens puisque dans « $0$ divise $0$ », il a un sens, alors que dans « $1$ divisé par $0$ », il n'en a pas...

Tu n'as jamais conclué, toi ?

Un nombre entier $a$ divise un nombre entier $b$ s'il existe un nombre entier $m$ tel que $a\times m=b$. Comme $0\times 0=0$, on a donc $0$ qui divise $0$.

Voilà une bonne façon de jeter un voile de confusion inutile en faisant comme si division et divisibilité étaient le même mot et la même notion.

Je me permets de préciser le propos de nodgim par une phrase permettant de donner un sens clair et assez général à la fois au mot "divisible" et "division":
Soit $(M,\cdot)$ un magma (commutatif, pour ne pas s'embêter), $a$ et $b$ des éléments de $M$: $b$ est divisible par $a$ s'écrit par la formule $\exists x\in M:\ xa=b$ et la notion de division $b/a$ a un sens conventionnel si on se contente d'ajouter l'unicité à cette formule ($\exists ! x\in M:\ xa=b$).

Il suffit juste que les gens apprennent à lire les définitions comme il se doit en maths: à la lettre.

@Math Coss: J'avoue, les termes que j'ai utilisés n'étaient sûrement pas adaptés à iotala :-D.
Cependant, il est très probable que sa confusion venait du fait qu'il ne fait trop la différence entre les deux concepts. Mais ça peut se dire ainsi:

Explication aux jeunes des concepts de divisibilité et division. Libre de droit (parce que je suis sympa, mais je ne voudrais pas trop imposer mon style) a écrit:

On dit que $a$ divise $b$ si il existe $c$ tel que $b=ac$. Si, en plus de cela, il n'existe qu'un unique $c$ vérifiant l'équation précédente, alors on peut définir $b/a$, la division de $b$ par $a$ et son résultat est le fameux $c$ qui avait l'air de faire l'affaire dans la précédente phrase, parce que là, c'est le seul et on ne peut pas se tromper, alors je ne vois vraiment pas pourquoi vous viendrez m'embêter, autant ne pas se prendre le chou avec des périphrases. Ok?

Notons qu'une fois bien enregistrée, cette définition (il en existe même des versions plus courtes, mais celle-ci a l'avantage de mettre les points sur les i sans se faire trop menaçant) a l'avantage de permettre à l'élève de se faire lui-même une idée claire sur la question qui nous intéresse.

Enfin, je sais que les programmes ont changé depuis, mais en ce qui me concerne, à l'école primaire, j'ai appris à faire des divisions avant de faire des virées en dehors des entiers naturels. Si la notation n'a $n/p$ généralement pas de sens dans $\mathbb{N}$, $12/4$ n'est pas absurde dans ce cadre et est même assez utilisé (de même que $5-3$, alors que $7-12$, on ne sait pas trop ce que c'est).

Iotala,

tu n'es pas moyé sous les remarques ? Fais signe.

Cordialement.

@ev: Je ne comprends pas bien, je ne comptais pas faire de formules dans lesquels $a$ et $b$ ne seraient pas libre, juste donner un critère de sélection sur $a$ et $b$ pour donner une définition, mais il est vrai que je me suis mal un peu mal exprimé dans la définition littéraire je vais la modifier un peu.
Edit: Euh... finalement je ne modifie pas, parce que je ne sais pas trop comment tourner ça, désolé :-S


@Math coss: certes, mais quand on va rarement se permettre d'écrire $15/4=3$ sauf si le cadre est bien établi, on préfère alors écrire un truc du genre $15=4\times 3 +3$, par ailleurs, on a dit que 0 est divisible par 0, mais on a jamais toléré de dire que 15 est divisible par 4 en arithmétique élémentaire.

@Fly7: Je me permets une petite pique (j'explique après le pourquoi). Tu ne connais que $\mathbb{N}^*$ et $\mathbb{Q}^*_+$? Tu as été éduqué sous l'empire romain?
C'est vrai que ce n'est pas très très très clair (juste très clair, ce qui, je le reconnais, est rare chez moi) mais par "arithmétique élémentaire" j'entendais plus un truc du genre $(\mathbb{N},+,\cdot)$ ou $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ (du coup, t'imagines que le type qui viens m'embêter là-dessus avant de discuter de l'opportunité de mettre 0 dans $\mathbb{N}$ ne me met pas de bon poil).
En ce qui concerne "0 divise 0", ça peut se dire et ça ne signifie pas que 0/0 est défini, pour rester sur les liens

vorobichek a écrit:

la question était pourtant simple et claire.

Non, la question n'était pas claire parce que pas quantifiée.
C'est pour cela que le fil est parti en quiproquo.

e.v.

Bonjour,

@vorobichek : Merci c'est sympa, mais même si je ne crois pas faire une erreur majeure ici, j'ai quand même une sérieuse tendance à foncer tête baissée, ce qui me fait généralement dire des bêtises ou répondre à côté de la plaque.

@ev: J'ai peut-être compris la critique, je tente une modification. Si tu peux me donner confirmation ou explication (dans le cas où ce n'est pas ça le problème), ce serait super sympa, parce que, si ce n'est pas ça, je ne comprends pas ce que ça peut être:

Au lieu de

moi a écrit:

Soit $(M,\cdot)$ un magma (commutatif, pour ne pas s'embêter), $a$ et $b$ des éléments de $M$: $b$ est divisible par $a$ s'écrit par la formule $\exists x\in M:\ xa=b$ et la notion de division $b/a$ a un sens conventionnel si on se contente d'ajouter l'unicité à cette formule ($\exists ! x\in M:\ xa=b$).

J'écris :
"
Soit $(M,\cdot)$ un magma (commutatif, pour ne pas s'embêter), et soient $a$ et $b$ des éléments de $M$: $b$ est divisible par $a$ s'écrit par la formule $\exists x\in M:\ xa=b$ et la notion de division $b/a$ a un sens conventionnel si on se contente d'ajouter l'unicité à cette formule ($\exists ! x\in M:\ xa=b$).
"
Ci-dessous, j'essaie de jouer au logicien pour expliquer la modification (c'est toujours plaisant et je suis joueur! Au pire, je prends une rouste, au mieux, mon niveau de rigueur gagne un niveau dans l'estime du lecteur):
Disons que quand je parle d'un truc en lui accolant un terme issu de la conjugaison au subjonctif du verbe être, ça signifie je lui colle en réalité une sorte de quantificateur d'universalité, et j'interprète certains bout de phrases comme définissant implicitement de nouveaux symbole de relation sur les "trucs qui désormais sont" et définis ma phrase comme un "axiome d'équivalence", qui est une formule close. Par exemple un bout de la phrase peut s'interpréter par $\forall (M,\cdot)\forall a,b\left[ \left( "(M,\cdot) \text{ est un magma commutatif}"\wedge (a,b)\in M^2\right) \rightarrow \left( \exists c(c\in M \wedge a\cdot c=b) \leftrightarrow "\text{ a divise b dans } (M,\cdot)"\right) \right]$.

Personnellement, je ne peux pas faire beaucoup plus rigoureux, juste préciser ce que j'entends par $\leftrightarrow$ et comment définir une "fonction définie sur A et à valeurs dans B" dans ZF et donc de définir le cahier des charges de "l'ensemble $\cdot$".

J'ai subitement une envie de me mettre à la théologie, les premiers versets de la Genèse me semblent intéressants... Ou pas! On y définit quelques termes (genre "la lumière") mais très peu de fonctions et de relations (je crois que ce "Verbe" est un piètre logicien ou il ne nous dit pas tout) ;-).

J'irai même plus loin: $0$ est un entier naturel pair !
Je dis cela parce que beaucoup le pensent "neutre".
...

@Archimède, les nombres premiers sont les éléments minimaux de N \ {1}, pas de N \ {0} ! (les atomes de la relation de divisibilité dans N).

Je m'étonne que personne n'ait pensé à mentionner ce qui me semble être le seul risque de confusion : entre diviseur de 0 et diviseur de zéro.

Quel est l'intérêt de multiplier artificiellement les exceptions par-dessus une définition qui fait une ligne, sinon d'induire chez les élèves une peur panique du zéro et de l'ensemble vide (qu'on retrouve malheureusement chez certains adultes et profs)?

Après si les gens se trompent il faut avant tout qu'ils apprennent à ne pas extrapoler abusivement les définitions (encore une fois le discours mathématique est au premier degré intégral).

salut.
Excusez-moi de rajouter des cheveux dans la soupe mais
l'élément a doit il être obligatoirement strictement plus petit que 0?
Ha non excusez moi.

LP:
Mais elle consiste très certainement à choisir le moment opportun où on entre dans les détails (si c'est utile).

Va expliquer à quelqu'un qui découvre tout ceci que 0 divise 0 mais qu'on ne peut pas diviser effectivement 0 par 0. c'est à dire qu'on ne sait peut pas donner un sens compatible avec les règles de l'arithmétique à $\dfrac{0}{0}$. B-)-

Je ne tape pas souvent sur les profs des écoles.
Je crois savoir que beaucoup n’en savent pas de quoi l’on parle quand on distingue les deux relations d’ordre.
Certains profs du secondaire non plus.
Je suis factuel et non dans la critique.

@Fin de partie: il y a des élèves de cinquième qui peuvent saisir ce genre de subtilités: ils sont en général seuls, perturbés, objets de moquerie, rejetés par tous !

ps: non je ne parle pas de moi !
...

Eh ben, on dirait que zéro divise par ici.

En effet, GaBuZoMeu, ça rassurerait tout le monde.
Il me semble que dans tous les cours de collège cette manière de dire est évoquée en arithmétique.
Ça fait bien de dire « divise » comme nouveau mot, dirait-on.

D’ailleurs, pourquoi préférer « divise » en arithmétique générale ?
Est-ce parce que l’on préfère la relation d’ordre dans ce sens « plus petit vers plus grand » ?

Blague : mais « zéro » est-il multiple de « 0 » pour tout le monde ?

Peut-être faudrait-il écrire diviseur-de-zéro « en un seul mot », comme on pourrait écrire corps-non-commutatif pour ne pas que les esprits fâcheux pensent qu'une telle bestiole est un corps (et donc un objet commutatif) gratifié d'une propriété supplémentaire, celle de ne pas être commutatif (et là on ne comprend plus rien).

Pour prendre une analogie que seuls ceux qui ont fait leurs classes peuvent comprendre, il y a la notion de chant et la notion de chant-militaire. Un chant-militaire n'est pas un chant dans un contexte militaire, à vrai dire cela n'a vraiment pas grand-chose à voir avec le chant.

Par opposition, un diviseur de $0$, c'est un diviseur de $a$ lorsque $a=0$. Pas pareil qu'un diviseur-de-zéro. Par exemple, $\Z$ est un anneau sans diviseurs-de-zéro (il est intègre) mais tous les entiers sont des diviseurs de $0$.

Ou mieux : un diviseur-de-zéro est un élément non nul et diviseur de $0$... Pas du tout ! Cf. plus haut.

C'est l'ambiguïté que pointait GG. Différencier l'écriture symbolique ou en lettres permettrait de la lever ; mettre des tirets aussi.

L'expression "diviseur de zéro" évoquée plus haut ne se rencontre que dans les niveaux où on aborde les anneaux intègres et où -en principe!- les étudiants ont déjà appris à appréhender correctement une définition mathématique. Je pense que c'est un faux problème.

un diviseur-de-zéro est un élément non nul et diviseur de 0

Mais enfin, non, pas du tout (la définition correcte a été donnée plus haut dans le fil).