0 divise 0 ?
dans Arithmétique
Bonjour
Dans un cours de spé math terminale S sur l'arithmétique, un professeur a fait la démonstration de $a\mid b$ et $b\mid a$ ssi $a = \pm b$.
Dans le sens de gauche à droite, il étudie le cas de $b=0$ et conclut que $a=q\times 0$ soit $a=b=0$
Ce qui signifie que 0 divise 0.
Peut-on décemment considérer le cas $b=0$ ? J'ai vu un grand nombre de cours qui imposaient $b \neq 0$. Quel est votre avis sur la question ?
Merci.
Dans un cours de spé math terminale S sur l'arithmétique, un professeur a fait la démonstration de $a\mid b$ et $b\mid a$ ssi $a = \pm b$.
Dans le sens de gauche à droite, il étudie le cas de $b=0$ et conclut que $a=q\times 0$ soit $a=b=0$
Ce qui signifie que 0 divise 0.
Peut-on décemment considérer le cas $b=0$ ? J'ai vu un grand nombre de cours qui imposaient $b \neq 0$. Quel est votre avis sur la question ?
Merci.
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Réponses
Ce n'est pas pour autant que l'on peut considérer des quotients où $0$ est un dénominateur.
Le fait qu'à peu près le même mot soit employé (dans « $0$ divise $0$ » ou « $3$ divise $0$ » d'une part, dans « $1$ divisé par $0$ » d'autre part) n'entraîne pas qu'il soit employé dans le même sens. D'ailleurs c'est bien évident que ce n'est pas le même sens puisque dans « $0$ divise $0$ », il a un sens, alors que dans « $1$ divisé par $0$ », il n'en a pas...
e.v.
Et, en fait, ça ne pose pas de problème, sauf psychologique quand on a fait rentrer à coups de bâton « qu’il ne faut jamais diviser par 0 ». C’est davantage le mot qui est en cause (diviser a plusieurs sens) mais pas la notion.
$1$ divise n'importe quel entier naturel.
Pour la relation "divise", $1$ est le plus petit élément ; $0$ est le plus grand élément.
Les éléments minimaux de $\N\setminus\{0\})$ sont les nombres premiers.
Soit $(M,\cdot)$ un magma (commutatif, pour ne pas s'embêter), $a$ et $b$ des éléments de $M$: $b$ est divisible par $a$ s'écrit par la formule $\exists x\in M:\ xa=b$ et la notion de division $b/a$ a un sens conventionnel si on se contente d'ajouter l'unicité à cette formule ($\exists ! x\in M:\ xa=b$).
C'est éclairant, surtout au niveau de la TS. Ils aiment bien les magmas en terminale, il paraît.
Cependant, il est très probable que sa confusion venait du fait qu'il ne fait trop la différence entre les deux concepts. Mais ça peut se dire ainsi:
Notons qu'une fois bien enregistrée, cette définition (il en existe même des versions plus courtes, mais celle-ci a l'avantage de mettre les points sur les i sans se faire trop menaçant) a l'avantage de permettre à l'élève de se faire lui-même une idée claire sur la question qui nous intéresse.
Enfin, je sais que les programmes ont changé depuis, mais en ce qui me concerne, à l'école primaire, j'ai appris à faire des divisions avant de faire des virées en dehors des entiers naturels. Si la notation n'a $n/p$ généralement pas de sens dans $\mathbb{N}$, $12/4$ n'est pas absurde dans ce cadre et est même assez utilisé (de même que $5-3$, alors que $7-12$, on ne sait pas trop ce que c'est).
Avec des quantificateurs, ta définition règle le problème.
Sans quantificateur, toutes les réponses sont possibles.
Une Foys de plus.
e.v.
tu n'es pas moyé sous les remarques ? Fais signe.
Cordialement.
Edit: Euh... finalement je ne modifie pas, parce que je ne sais pas trop comment tourner ça, désolé :-S
@Math coss: certes, mais quand on va rarement se permettre d'écrire $15/4=3$ sauf si le cadre est bien établi, on préfère alors écrire un truc du genre $15=4\times 3 +3$, par ailleurs, on a dit que 0 est divisible par 0, mais on a jamais toléré de dire que 15 est divisible par 4 en arithmétique élémentaire.
Je me permets de répondre. Bien sur que c'est possible il suffit de préciser que c'est un rationnel.
Par contre si l'on informe que l'on accepte seulement que les entiers naturels la il n'y a pas d’ambiguïté.
0 est il un entier naturel?
Intuitivement je ne pense pas.
Je dirais donc que 0 n'est pas divisible par 0.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Entier_naturel
C'est vrai que ce n'est pas très très très clair (juste très clair, ce qui, je le reconnais, est rare chez moi) mais par "arithmétique élémentaire" j'entendais plus un truc du genre $(\mathbb{N},+,\cdot)$ ou $(\mathbb{Z},+,\cdot)$ (du coup, t'imagines que le type qui viens m'embêter là-dessus avant de discuter de l'opportunité de mettre 0 dans $\mathbb{N}$ ne me met pas de bon poil).
En ce qui concerne "0 divise 0", ça peut se dire et ça ne signifie pas que 0/0 est défini, pour rester sur les liens
Aux autres : s'il vous plait, descendez de votre petit nuage des brillants mathématiciens (oui, vous êtes brillants)... la question était pourtant simple et claire. Pourquoi ne pas répondre de façon pédagogique et claire? Avec ce genre de discussion, on comprend pourquoi il y a beaucoup de français allergiques aux maths... C'est vraiment dommage, c'est envie irrésistible de compliquer les choses au maximum.
Non, la question n'était pas claire parce que pas quantifiée.
C'est pour cela que le fil est parti en quiproquo.
e.v.
@vorobichek : Merci c'est sympa, mais même si je ne crois pas faire une erreur majeure ici, j'ai quand même une sérieuse tendance à foncer tête baissée, ce qui me fait généralement dire des bêtises ou répondre à côté de la plaque.
@ev: J'ai peut-être compris la critique, je tente une modification. Si tu peux me donner confirmation ou explication (dans le cas où ce n'est pas ça le problème), ce serait super sympa, parce que, si ce n'est pas ça, je ne comprends pas ce que ça peut être:
Au lieu de
J'écris :
"
Soit $(M,\cdot)$ un magma (commutatif, pour ne pas s'embêter), et soient $a$ et $b$ des éléments de $M$: $b$ est divisible par $a$ s'écrit par la formule $\exists x\in M:\ xa=b$ et la notion de division $b/a$ a un sens conventionnel si on se contente d'ajouter l'unicité à cette formule ($\exists ! x\in M:\ xa=b$).
"
Ci-dessous, j'essaie de jouer au logicien pour expliquer la modification (c'est toujours plaisant et je suis joueur! Au pire, je prends une rouste, au mieux, mon niveau de rigueur gagne un niveau dans l'estime du lecteur):
Disons que quand je parle d'un truc en lui accolant un terme issu de la conjugaison au subjonctif du verbe être, ça signifie je lui colle en réalité une sorte de quantificateur d'universalité, et j'interprète certains bout de phrases comme définissant implicitement de nouveaux symbole de relation sur les "trucs qui désormais sont" et définis ma phrase comme un "axiome d'équivalence", qui est une formule close. Par exemple un bout de la phrase peut s'interpréter par $\forall (M,\cdot)\forall a,b\left[ \left( "(M,\cdot) \text{ est un magma commutatif}"\wedge (a,b)\in M^2\right) \rightarrow \left( \exists c(c\in M \wedge a\cdot c=b) \leftrightarrow "\text{ a divise b dans } (M,\cdot)"\right) \right]$.
Personnellement, je ne peux pas faire beaucoup plus rigoureux, juste préciser ce que j'entends par $\leftrightarrow$ et comment définir une "fonction définie sur A et à valeurs dans B" dans ZF et donc de définir le cahier des charges de "l'ensemble $\cdot$".
J'ai subitement une envie de me mettre à la théologie, les premiers versets de la Genèse me semblent intéressants... Ou pas! On y définit quelques termes (genre "la lumière") mais très peu de fonctions et de relations (je crois que ce "Verbe" est un piètre logicien ou il ne nous dit pas tout) ;-).
Je dis cela parce que beaucoup le pensent "neutre".
...
PS: Vous prenez au hasard une personne et vous lui dites que $0$ divise $0$, il va immédiatement en conclure qu'on peut donner un sens à $\dfrac{0}{0}$ qui est compatible avec les règles usuelles de l'arithmétique.
Je m'étonne que personne n'ait pensé à mentionner ce qui me semble être le seul risque de confusion : entre diviseur de 0 et diviseur de zéro.
Après si les gens se trompent il faut avant tout qu'ils apprennent à ne pas extrapoler abusivement les définitions (encore une fois le discours mathématique est au premier degré intégral).
Parce que les êtres humains ne sont pas des petits robots qui sont programmables.
D'ailleurs, c'est la raison pour laquelle on a créé un truc qui s'appelle la pédagogie.
Je sais bien qu'ici ce concept n'est pas en odeur de sainteté.
Excusez-moi de rajouter des cheveux dans la soupe mais
l'élément a doit il être obligatoirement strictement plus petit que 0?
Ha non excusez moi.
Mais elle consiste très certainement à choisir le moment opportun où on entre dans les détails (si c'est utile).
Va expliquer à quelqu'un qui découvre tout ceci que 0 divise 0 mais qu'on ne peut pas diviser effectivement 0 par 0. c'est à dire qu'on ne sait peut pas donner un sens compatible avec les règles de l'arithmétique à $\dfrac{0}{0}$. B-)-
Je crois savoir que beaucoup n’en savent pas de quoi l’on parle quand on distingue les deux relations d’ordre.
Certains profs du secondaire non plus.
Je suis factuel et non dans la critique.
Mais tu ne réponds pas sur la question:
Espères-tu qu'un élève de cinquième va comprendre que $0$ divise $0$ mais que malgré tout on ne peut pas effectuer la division de $0$ par $0$?
ps: non je ne parle pas de moi !
...
Ou une blague de l’Almanach Vermot ?
-- Schnoebelen, Philippe
Et "$a$ est multiple de $b$" est synonyme de "$b$ divise $a$", non ? (:D
Il me semble que dans tous les cours de collège cette manière de dire est évoquée en arithmétique.
Ça fait bien de dire « divise » comme nouveau mot, dirait-on.
D’ailleurs, pourquoi préférer « divise » en arithmétique générale ?
Est-ce parce que l’on préfère la relation d’ordre dans ce sens « plus petit vers plus grand » ?
Blague : mais « zéro » est-il multiple de « 0 » pour tout le monde ?
Mais dans cette affaire, si je puis me permettre, peut-être faut-il bannir l'expression « ... divise ... », qui fait penser à une division qu'on effectue, et alors on dévie vers $\frac 00$, et c'est la porte ouverte à tous les développements oiseux.
Remplaçons « ... divise ... » par « ... est diviseur de ... », réciproque de « ... est multiple de ... », ce qui qui rejoint la remarque de GaBuZoMeu, qui me semble de bon sens.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Pour prendre une analogie que seuls ceux qui ont fait leurs classes peuvent comprendre, il y a la notion de chant et la notion de chant-militaire. Un chant-militaire n'est pas un chant dans un contexte militaire, à vrai dire cela n'a vraiment pas grand-chose à voir avec le chant.
Par opposition, un diviseur de $0$, c'est un diviseur de $a$ lorsque $a=0$. Pas pareil qu'un diviseur-de-zéro. Par exemple, $\Z$ est un anneau sans diviseurs-de-zéro (il est intègre) mais tous les entiers sont des diviseurs de $0$.
C'est l'ambiguïté que pointait GG. Différencier l'écriture symbolique ou en lettres permettrait de la lever ; mettre des tirets aussi.
Un diviseur de (2-2) me va aussi bien.
Je comprends bien sûr le problème.
La proposition des tirets est en effet une meilleure piste.
Là il faut avouer que les matheux déconnent.
Je m’attendais en DEUG première année à une définition plutôt orientée vers « un anneau intègre est un anneau dont zéro est le seul diviseur de zéro ».
Mais on est d’accord que le sujet de départ n’est pas celui-là.
Mais enfin, non, pas du tout (la définition correcte a été donnée plus haut dans le fil).
Foys, un pédagogue qui s'ignore? X:-(