0 divise 0 ?

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Réponses

  • Dom
    Dom
    Flûte alors !

    http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./d/divzero.html

    https://fr.wikipedia.org/wiki/Diviseur_de_zéro

    Même si $0$ divise $0$, pour la relation d'ordre des entiers, c'est incontestable et plus aisément, $0$ est un multiple de $0$, on a quand même le fait que le nombre $0$ (neutre de l'addition dans un anneau) n'est pas un diviseur de zéro dans le sens $diviseur-de-zéro$ pointé par les deux premiers liens que j'ai trouvés.

    Et ceci n'est pas un sketch, malheureusement.

    Edit : plus clairement, et sans rire,
    Le nombre zéro est un diviseur du nombre zéro mais zéro n'est pas un diviseur-de-zéro-dans-le-sens-des-liens-plus-haut.
  • Foys
    Foys
    Fin de partie a écrit:
    Foys, un pédagogue qui s'ignore?
    Il y a une distinction entre la pédagogie et les pratiques contemporaines que l'on qualifie de "pédagogie". On peut critiquer les secondes sans pour autant être remettre en cause la première (qui à vrai dire, sans plus de précision, reste une notion vague).
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • ev
    ev
    Il vaut mieux être un pédagogue qui s'ignore qu'un pédagogue à la turque.

    @ Foys.
    La pédagogie est vaste. Elle n'est pas vague pour autant.

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • GG
    GG
    @Dom, chez Bourbaki, un diviseur de zéro est un élément a tel qu'il existe b distinct de 0 vérifiant ab=0.
    Conséquences :
    0 est un diviseur de zéro.
    Les diviseurs de zéro sont les éléments non réguliers.
    Un anneau intègre est un anneau commutatif non nul sans diviseur propre de zéro (i. e. distinct de 0).
  • Dom
    Dom
    Ha !
    Sur ce coup là j’aime bien Bourbaki :-)

    Merci de cette info GG.
  • Fly7
    Fly7
    Excusez mon ignorance des structures algébriques.
    Je ferai la remarque que si 0 divise 0, 0 est aussi divisible par 1 donc 0 est un nombre premier bien qu'il soit un multiple de deux soit un nombre pair.
    Contradiction donc 0 ne divise pas 0 et 0 n'est pas un entier naturel.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Fly7 : On ne fait pas moins premier que $0$ ;-)
  • Fly7
    Fly7
    https://www.nombres-premiers.fr/0.html
    Non, 0 n'est pas un nombre premier. En effet, le zéro est divisible par tous les nombres entiers ! Donc il ne répond pas à la définition d'un nombre premier, qui est de n'être divisible que par 1 et lui-même.
    Mon raisonnement ne tient pas.
    La prochaine fois je tenterai de chercher avant de dire une connerie.
    En même temps un nombre ayant un diviseur plus grand que lui ne peut pas donner un entier mais cela ne fait que rajouter de la confusion qui pour moi provient du fait de vouloir faire entrer 0 dans la famille des entiers naturels.
  • Dom
    Dom
    « Plus grand » pour $...\leq ...$ ou pour $...\mid...$ ?
  • Fly7
    Fly7
    Excuse-moi Dom, je n'arrive pas à trouver ce que tu veux me faire deviner.
    Que signifie la barre verticale \leq ?
  • gerard0
    gerard0
    "plus grand" pour la relation d'ordre habituelle ou pour la relation d'ordre "divise" ?

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    On a l’ordre courant $\leq$ (a est inférieur ou égal à b) dont $0$ est le plus petit élément (sur les entiers naturels).
    On a l’ordre de divisibilité $|$ (a divise b) dont $0$ est le plus grand élément (sur les entiers naturels).

    C’est une des ambigüités soulevée dans ce fil et aussi dans d’autres fils où l’on parle de $pgcd$.
    En effet pour un ordre $0$ est plus petit tandis que pour l’autre $0$ est plus grand.

    Par exemple PGCD(0,0)=0 pour $...|...$ mais pas pour $...\leq ...$.

    Et d’ailleurs, le D signifiant « Diviseur », c’est bien l’ordre « $|$ » qui est « naturel ».

    PS : j’ai tout de même mis un certain temps avant de comprendre cela.

    Édit : je n’avais pas vu le message de Gérard.
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Mais l'ordre induit par la relation de divisibilité n'est pas total sur l'ensemble des entiers car on n'a pas nécessairement que $a$ divise $b$, ou, $b$ divise $a$, $a,b$ étant des entiers. Exemple: $2$ ne divise pas $3$ et $3$ ne divise pas $2$.

    Tandis que dans l'ensemble des entiers (respectivement des réels) l'ordre induit par la relation $\leq$ est total, on a $a\leq b$ ou $b \leq a$.
  • Fly7
    Fly7
    Comme je ne comprends pas bien la question je vais donner des exemples.
    a/b=c
    4/2=2
    9/3=3
    20/5=4
    7/7=1
    c est un entier que si b est plus petit ou égal a a.
    règle qui ne fonctionne pas avec
    a/b=c
    0/5=0 ce qui est une preuve que 0 n'est pas un entier naturel au mieux un rationnel mais je ne le pense pas.
    Par contre ça fonctionne bien avec 0/0=0 ou peut être 1 ?!!!

    Je n'arrive pas bien à tout visualiser.
  • Dom
    Dom
    Pour « visualiser » il faut vraiment voir ce qu’est une relation d’ordre sur un ensemble.
    Réflexivité, Antisymétrie et Transitivité.
    Ça se bosse.

    Comprendre l’idée qu’on donne des adjectifs « petit » et « grand » liés à la relation d’ordre choisie.

    En général, d’ailleurs, dans les notations, ce qui est à gauche est qualifié de plus petit que ce qui est à droite.

    Quatre exemples :
    $\leq $, $ | $, $ \subset $, ordre lexicographique (ou alphabétique)
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    @Fly7
    Je vais être moins cool que Dom (et c'est la deuxième fois, pardon).

    Nope! Si c'est (à l'exception de 0 près) globalement le cas dans $\mathbb{N}$ la notion de diviseur est une notion d'algèbre qui n'a rien à voir la relation d'ordre. Tu dis que $a$ divise $b$ si il existe $c$ tel que $b=ac$ (et ça ne va pas plus loin). En arithmétique on parle autant d'entier relatif que de naturel, $2$ divise $-8$ car $-8=2\times -4$ et pourtant $-8$ est plus petit que $2$ (et tu n'es pas obligé de considérer l'existence des rationnels pour passer aux relatifs, je commence sérieusement à penser que tu dates de l'antiquité mon vieux).

    Les nombres entiers naturels sont des machins super pratiques pour comparer les ensembles finis, en gros, si ne veux pas chercher plus loin au niveau des définitions, un entier, c'est le nombre d'objet que tu peux mettre dans un sac (si tu veux en mettre beaucoup, tu prends des petits objets ou un gros sac). Si ton sac est vide, il y a à l'intérieur autant d'objet que dans un autre sac vide, ce qui fait un peu moins que ce qu'il y a dans un sac dans lequel il y a un machin. Tu dis "zéro" (et tu note "0"), et 0 est un nombre entier parce qu'il me permet de comparer le nombre d'objet qu'il y a dans un sac vide avec le nombre d'objet qu'il y a dans un autre sac (vide ou non).

    Note : ça marche aussi avec des boîtes mais le sac est mieux, parce qu'il est plus pratique à transporter quand tu n'as pas de diable.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je reprends la réponse de Dom en moins technique. Si tu veux comparer des gens, tu as plusieurs critères : l'âge, la taille, le poids, le nombre de cheveux, le classement Elo, le classement ATP, la distance du domicile au sommet du Mont-Aigoual mesurée à vol d'oiseau, j'en passe et des meilleurs. Tu vois bien que celui qui habite le plus loin du Mont Aigoual n'est pas nécessairement le plus grand ni le meilleur joueur d'échec.

    Eh bien, pour les entiers, c'est pareil, il y a plusieurs critères de comparaison – plusieurs ordres possibles.

    Pour l'ordre habituel, $0$ est le plus petit des entiers naturels ($0\le a$ pour tout $a$), $1$ vient juste après et les autres s'alignent à la suite.

    Pour l'ordre de divisibilité, $1$ est le plus petit ($1$ divise $a$ pour tout $a$ parce que $a=1\times a$), $0$ est le plus grand ($a$ divise $0$ pour tout $a$ parce que $0=a\times0$) et les autres sont au milieu, pas tous comparables (par exemple, entre $6$ et $7$, aucun ne divise l'autre), et c'est intéressant aussi, voire plus que l'ordre habituel.
  • Fly7
    Fly7
    Merci Math Coss
    Excusez la fatigue mais j'ai fini par comprendre votre point de vue.
    Je rappelle encore que je n'y connait rien aux structures algébriques qui ont l'air très puisantrs.
    Par contre la remarque que j'ai faite a propos de 0 repose sur des loi simple reconnues de tous.
    Vos arguments sur vos sacs construits depuis vos définitions n'ont aucun effet sur ma remarque tout comme celui qui habite le plus loin du Mont Aigoual n'est pas nécessairement le plus grand ni le meilleur joueur d'échec
    et pourtant je ne suis pas si loin du massif central.
    Je vous propose donc de trouver un argument convainquant.
  • Dom
    Dom
    Chacun connaît bien la relation d’inclusion.
    En un sens, la relation « a divise b » peut être traduite par une relation d’inclusion, pour les entiers.
    Quel que soit $k \geq 6 $,
    $0\mathbb Z \subset 2^k\mathbb Z \subset 64\mathbb Z \subset 32\mathbb Z \subset 16\mathbb Z \subset 8\mathbb Z \subset 4\mathbb Z \subset 4\mathbb Z \subset 2\mathbb Z \subset 1\mathbb Z $

    $0$ est en bout de chaîne, du côté « des plus grands nombres ».

    On peut dire en français : les multiples de $0$ sont des multiples de $64$ qui sont des multiples de $8$ qui sont des entiers pairs qui sont des entiers.

    Édit : Je ne comprends pas « l’argument ».
    Tu utilises des quotients donc tu exclus le $0$.
    Dans cette approche, on peut même pousser un peu et dire que zéro n’existe pas.
    Si on s’arrange pour trouver des méthodes en divisant par « x-2 » alors on ne pourra pas utiliser...2.
  • Math Coss
    Math Coss
    Je ne comprends plus l'objet de la polémique alors je fais deux remarques au hasard.

    Une spécifique : $a/b$, c'est un machin qui, quand on le multiplie par $b$, doit donner $a$. On espère que c'est unique puisqu'on veut le désigner par un symbole. Quand on essaie de diviser par zéro, on a deux obstacle :
    • si $a\ne0$, il n'existe pas de machin qui, multiplié par $0$, donne $a$ parce que $0$ est absorbant : $0$ multiplié par n'importe quoi vaut $0$ ;
    • si $a=0$, n'importe quel machin multiplié par $0$ donne $0$ donc n'importe quoi peut prétendre à s'appeler $0/0$ : c'est un problème.

    Une générale : c'est bien gentil, le sens commun, mais ça a ses limites. Pour faire des mathématiques, il est utile d'accepter de changer certaines conceptions de temps en temps.
  • unguest
    unguest
    Bonsoir à toutes et tous.
    À mon tour d'apporter ma pierre à l'édifice de ce genre de problèmes.

    Prenons ceci de la manière suivante.
    Soit $\forall a,b \in \mathbb{R}$
    Si nous prenons $a = 0$ et $b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, alors $\frac{a}{b} = 0$.
    Si cependant $b$ tend vers $0$, nous arrivons à la conclusion que :
    $\lim\limits_{b \rightarrow 0} {\frac{a}{b}} = +\infty$ mais dès lors que l'on a $0$ en numérateur, on a forcément $0$ au dénominateur comme vu précédemment.

    Un autre preuve serait de dire que $0 * 0 = 0$ donc $\frac{0}{0} = 0$ puisque la division n'est au final qu'une multiplication.

    Je tiens à préciser que ceci ne relève que de ma réflexion et que ce sujet n'a évidemment pas de réponse universelle et triviale.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Je me permets de ressortir un peu de l'arithmétique et des anneaux, pour proposer une explication avec des termes d'algèbre.

    La division n'est que rarement une loi de composition interne bien définie.

    En général, on évite de donner un sens à $a/b$ si il existe plusieurs éléments $x$ tel que $ax=b$. Si on veut définir "division" par rapport à la "multiplication", qu'on ne considérera que comme une loi de composition interne sur un ensemble, la division n'aura que rarement un sens de loi de composition interne, il ne sera pas défini pour tout couple $(a,b)$, sauf si l'ensemble muni de sa loi de "multiplication" est un quasigroupe (je case le mot parce que l'adore !), on peut d'ailleurs y définir des divisions à droite ou à gauche.
    Du coup, si tu veux garder un sens conventionnel, si tu nommes $E$ l'ensemble muni de la loi de composition interne nommée "multiplication" (qui est commutative ce coup-là) la division n'y est pas une loi de composition interne, c'est juste une fonction définie sur une partie de $E^2$ et à valeur dans $E$. Par exemple dans un corps commutatif $K$ la division est une fonction de $K^2\setminus \{z : \ \exists x [z=(x,0)]\}$ dans $K$.

    On peut imaginer des gens qui définiraient la division comme une fonction de $E^2$ dans $\mathcal{P}(E)$, comme ça on peut mettre l'ensemble vide si $a$ n'est pas diviseur de $b$ ou bien indiquer plus qu'un singleton si il y a plusieurs solutions à l'équation $ax=b$, mais ça ne doit pas être facile à manipuler.
  • Fly7
    Fly7
    Dom a écrit:
    Si on s’arrange pour trouver des méthodes en divisant par « x-2 » alors on ne pourra pas utiliser...2.
    Oui on ne pourra pas utiliser x=2 mais le diviseur sera « x-2 » donc le diviseur est et sera toujours 2-2=0
    Dom a écrit:
    Tu utilises des quotients donc tu exclus le 0.
    Bonne remarque https://en.wikipedia.org/wiki/Quotient#Quotient_of_two_integers
    Y a-t-il un quotient dans 0/0 ?
    Math Coss ton argumentation est intéressante aussi.
  • Dom
    Dom
    On peut oublier la soustraction et la division.
    N’écrire qu’avec des additions et multiplications.
    La notion « 4 divise 8 » ne fait pas appel à la division.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Math Coss a écrit:
    Je reprends la réponse de Dom en moins technique. Si tu veux comparer des gens, tu as plusieurs critères : l'âge, la taille, le poids, le nombre de cheveux, le classement Elo, le classement ATP, la distance du domicile au sommet du Mont-Aigoual mesurée à vol d'oiseau, j'en passe et des meilleurs.

    Tu as oublié le nombre d’Erdös (grmbl, le double accent sur le o ne passe pas).
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Math Coss
    Math Coss
    Tiens, une variante amusante : le nombre d'Erdös-Bacon.
  • Fly7
    Fly7
    Fly7 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1857622,1860228#msg-1860228
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Je n’était pas allé au bout du raisonnement.
    0 est un entier naturel qui admet qu'un seul rationnel 0/0
    PS. 0/5 est par conséquence interdit sous peine d'exclure 0 des entiers naturels.
  • Math Coss
    Math Coss
    Fly7 a écrit:
    0 est un entier naturel qui admet qu'un seul rationnel 0/0
    PS; 0/5 est par conséquence interdit sous peine d'exclure 0 des entiers naturels.
    La première phrase n'a aucun sens : qu'est-ce qu'un rationnel admis par un naturel ?

    La deuxième est fausse et archi-fausse : $0/5=0$ parce que $5\times0=0$, cela n'a jamais effrayé personne.
  • Fly7
    Fly7
    Ce que je constate c'est qu'il est difficile de faire entrer 0 dans la femelle famille des entiers naturels sans trouver une contradiction.
    L'exclure n'arrange rien pour autant.
  • Math Coss
    Math Coss
    N'importe quoi.
  • df
    df
    Se que je constate moi, c'est le déclin du francé.
    ...
  • Dom
    Dom
    La femelle famille des entiers naturels est bien définie.
    Munie de l'addition, le $0$ est un (le seul) élément neutre.

    Je crois que l'on a tout dit sur ce sujet.
    Je ne pense pas qu'il faille épiloguer encore.
  • df
    df
    C'était une blague grivoise du traitement de texte pour nous faire comprendre que cette discussion est absurde ?

    Décidément, l'IA fait des progrès remarquables !
    ...
Cette discussion a été fermée.

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