Partie entière et nombre d’or

eduphy · September 2019

Si B est l’ensemble des parties entières de nw et nw^2 ou w est le nombre d’or et n un entier naturel non nul, comment montrer que B est aussi l’ensemble de (p,q) entiers naturels vérifiant q=partie entiere ((p-q)w)?

Cidrolin · September 2019

Notons $\varphi=\dfrac{1+\sqrt5}2\quad$ et $\quad B=\{(E(n\varphi), E(n\varphi^2));n\in \N^*\}$

Si $(p,q)\in B$, alors il existe $n\in N^*$ tel que $p=E(n\varphi)$ et $q=E(n\varphi ^2) =E(n(\varphi +1))=p+n$

De $n=q-p$, on déduit $p=E((q-p)\varphi)$.