Unités de $\Bbb Q[\zeta_5]$

Le sous-corps réel de $L = \Q(\zeta_5)$ c'est le corps quadratique $K = \Q(\cos 2\pi /5)=\Q(\sqrt{5})$

$O_K^\times$ est facile à trouver : c'est $O_K^\times = \pm 1 \times u^\Z$ où $u$ est le plus petit $u> 1$ tel que $u \in O_K^\times$ qu'on peut trouver en prenant une unité $v \in O_K^\times, v > 1$ de polynôme minimal $X^2-bX\pm 1$ et en testant si les racines de $X^2-aX\pm 1\in \Z[X]$ sont dans $K^\times$ pour $|a| < |b|$.

Ensuite on regarde l'homomorphisme $f : O_L^\times \to O_K^\times,f(w) = |w|^2$ de noyau $<\zeta_{10}>$ (*) et d'image $u^{2 \Z}\subset f(O_L^\times) \subset O_K^\times \cap \R_{> 0}=u^\Z$

donc soit l'image c'est $u^{2\Z}$ et $O_L^\times = <\zeta_{10}> \times u^\Z$

soit l'image c'est $u^\Z$ et $O_L^\times = <\zeta_{10}> \times u^\Z \cup z <\zeta_{10}> \times u^\Z$ où $f(z) = u$


(*) si $|w|^2= 1$ alors tous ses conjugués satisfont $|\sigma(w)|=1$ ce qui implique que les polynômes minimaux des $w^k$ ont des coefficients uniformément bornés donc deux d'entre eux sont égaux donc $w^{k_1} =w^{k_2}$ et $w$ est une racine de l'unité

@AP C'est ce que j'ai dit : $O_K^\times = \pm 1 \times u^\Z$ où $u = 2\cos(2\pi / 10)= \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ et $O_L^\times = <\zeta_{10}> \times u^\Z$

Cf. argument plus haut,

Il n'existe pas de $z \in O_L^\times=\Z[\zeta_5]$ tel que $|z|^2 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$
parce que sinon avec $\sigma(\zeta_5)= \zeta_5^2$, $\sigma(\sqrt{5}) = -\sqrt{5}$ et $\rho(\zeta_5)= \zeta_5^{-1}$ la conjugaison complexe

on aurait $$|\sigma(z)|^2 =\sigma(z)\rho(\sigma(z))=\sigma(z\rho(z))= \sigma(\frac{1+\sqrt{5}}{2})=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0.

$$ Le noyau de $w \mapsto |w|^2$ ce sont les $w\in O_L^\times,|w|^2 = 1$ donc $|\sigma(w)|^2=1$ ce qui implique que les coefficients de $f_k(X)=(X-w^k)(X-\sigma(w^k))(X-\rho(w^k))(X-\sigma\rho(w^k))\in \Z[X]$ sont uniformément bornés d'où $f_k(X)=f_{k_2}(X)$ et $w^k = w^{k_3}$ et $w$ est une racine de l'unité. Avec l'irréductibilité des polynômes cyclotomiques on a que les racines de l'unité de $O_L^\times$ sont $<\zeta_{10}>$.