Inégalité de sommes

Pythagorus · September 2019

Bonjour à tous, je n'arrive pas à montrer cette inégalité, pourriez-vous essayer ?

Pour un entier $n$ supérieur ou égal à $2$, montrer que \[
\forall (z_{1},\ldots , z_{n}) \in \mathbb{C}^{n},~\frac{\sum_{k=1}^{n}\left | z_{k} \right | } {1+\sum_{k=1}^{n}\left | z_{k} \right |} \leq \sum_{k=1}^{n}\frac{\left | z_{k} \right |}{1+\left | z_{k} \right |}.
\] Merci pour vos réponses !

marco · September 2019

Il faut utiliser le fait que la dérivée de $f:x \mapsto \frac{x}{x+1}$ est décroissante sur $\R^+$. On a alors pour $a,b \in \R^+$, $f(a+b)-f(a)=\int_a^{a+b} f'(t)dt \leq \int_0^b f'(t)dt=f(b)$. En effet $f'(t)\leq f'(t-a)$, pour $t\geq a$.

YvesM · September 2019

Bonjour,

On a aussi, de tête, $\displaystyle \sum_p |z_p|=Z\geq |z_k|$ pour tout $k$ et alors $\displaystyle \sum_k {|z_k|\over 1+|z_k|}\geq \sum_k {|z_k|\over 1+Z}$. Voilà !

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