Somme des diviseurs propres

C'est insurmontable.

Les solutions sont ce qu'on appelle des paires de nombres aimables.

http://www.recreomath.qc.ca/dict_amiables_nombres.htm

Attention : en arithmétique, le terme de diviseur "propre" n'est pas stabilisé, on dit aussi parfois diviseur "strict". En général, on préfère revenir directement à la définition, à savoir $d$ est un diviseur propre de $n$ si $d \mid n$ et $0 < d < n$.

En revanche, ce qui est sûr, c'est que la notation $\sigma$ est (exclusivement) réservée à la somme de tous les diviseurs positifs de $n$. Ainsi, $\sigma(220)=504$, et non $284$. Il n'existe pas, à ma connaissance, de notation spécifique à la somme des diviseurs "propres" de $n$. On pourrait en créer une, comme par exemple $\sigma_{\textrm{propre}}$, mais c'est plutôt inutile, puisque $\sigma_{\textrm{propre}} (n) = \sigma(n)-n$.

$s(n)$ apparaît parfois, mais, je le répète, ce n'est pas communément admis (Par exemple, Pomerance utilise cette notation dans l'un des ses articles intitulé "The first function and its iterates", mais ce n'est pas fréquent). C'est d'ailleurs parfois aussi utilisé pour la fonction indicatrice des entiers $2$-pleins, par exemple, ou autre.

À noter que, si $s(n) := \sigma(n)-n$ et pour $x \to \infty$
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{s(s(n))}{n} \sim \left( \frac{\zeta(2)^2 \zeta(3)}{\zeta(4)} - 2 \zeta(2)+1 \right) x \approx 0,715 \, x.$$

La notation $\sigma^{*}(n)$ me semble pas mal.