Somme des diviseurs propres
dans Arithmétique
Bonjour je suis en Terminale S. En spé maths on a abordé la somme des diviseurs propres d'un nombre. J'aimerais bien que l'on m'aide à résoudre l'équation suivante. Je n'ai certes, quasiment aucune connaissance, mais je comprends vite.
Soit $ \sigma ( x)$ la fonction qui à $x$ associe la somme des diviseurs propres de $x$. $ \sigma ( x)$ est définie sur $ \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$. Résoudre : $ \sigma \big( \sigma ( x)\big) =x$.
Je vous donne un exemple : $x=284$ est solution car $ \sigma ( 284) =220$ et $ \sigma ( 220) =284$.
Je ne sais absolument pas comment faire pour trouver toutes les solutions d'une telle équation.
Je vous remercie par avance.
Soit $ \sigma ( x)$ la fonction qui à $x$ associe la somme des diviseurs propres de $x$. $ \sigma ( x)$ est définie sur $ \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$. Résoudre : $ \sigma \big( \sigma ( x)\big) =x$.
Je vous donne un exemple : $x=284$ est solution car $ \sigma ( 284) =220$ et $ \sigma ( 220) =284$.
Je ne sais absolument pas comment faire pour trouver toutes les solutions d'une telle équation.
Je vous remercie par avance.
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Réponses
edit (suite à la précision apportée par @noix de totos): $s(n):=\sigma(n)-n$.
...
http://www.recreomath.qc.ca/dict_amiables_nombres.htm
En revanche, ce qui est sûr, c'est que la notation $\sigma$ est (exclusivement) réservée à la somme de tous les diviseurs positifs de $n$. Ainsi, $\sigma(220)=504$, et non $284$. Il n'existe pas, à ma connaissance, de notation spécifique à la somme des diviseurs "propres" de $n$. On pourrait en créer une, comme par exemple $\sigma_{\textrm{propre}}$, mais c'est plutôt inutile, puisque $\sigma_{\textrm{propre}} (n) = \sigma(n)-n$.
@M.Poisson: il ne fait pas partie de la liste du Clay Institute qui ne contient plus que $6$ problèmes ouverts.
Ce qui ne veut pas dire que sa solution ne sera pas récompensée.
Puisqu'on parle de problèmes ouverts, je mets un lien vers un problème posé au début des années 60 et qui vient de trouver sa solution.
https://www.newscientist.com/article/2216349-50-year-old-maths-problem-about-an-infinite-lottery-finally-solved/
https://www.pnas.org/content/early/2019/08/28/1906183116
...
À noter que, si $s(n) := \sigma(n)-n$ et pour $x \to \infty$
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{s(s(n))}{n} \sim \left( \frac{\zeta(2)^2 \zeta(3)}{\zeta(4)} - 2 \zeta(2)+1 \right) x \approx 0,715 \, x.$$