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Somme des diviseurs propres

Envoyé par M.Poisson 
Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
Bonjour je suis en Terminale S. En spé maths on a abordé la somme des diviseurs propres d'un nombre. J'aimerais bien que l'on m'aide à résoudre l'équation suivante. Je n'ai certes, quasiment aucune connaissance, mais je comprends vite.

Soit $ \sigma ( x)$ la fonction qui à $x$ associe la somme des diviseurs propres de $x$. $ \sigma ( x)$ est définie sur $ \mathbb{N} \setminus \{0,1\}$. Résoudre : $ \sigma \big( \sigma ( x)\big) =x$.

Je vous donne un exemple : $x=284$ est solution car $ \sigma ( 284) =220$ et $ \sigma ( 220) =284$.
Je ne sais absolument pas comment faire pour trouver toutes les solutions d'une telle équation.
Je vous remercie par avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
df
Re: Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
Savoir s'il existe une infinité d'entiers naturels $n$ tels que la suite: $s(n), s(s(n)), s(s(s(n))), ..., $ est périodique reste un problème ouvert.
edit (suite à la précision apportée par @noix de totos): $s(n):=\sigma(n)-n$.
...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par df.
Re: Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
avatar
Les solutions sont ce qu'on appelle des paires de nombres aimables.

[www.recreomath.qc.ca]
Re: Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
D'accord, merci pour vos réponses. Vous savez si la solution de ce problème est récompensée comme pour la démonstration de l'hypothèse de Riemann ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par M.Poisson.
Re: Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
Attention : en arithmétique, le terme de diviseur "propre" n'est pas stabilisé, on dit aussi parfois diviseur "strict". En général, on préfère revenir directement à la définition, à savoir $d$ est un diviseur propre de $n$ si $d \mid n$ et $0 < d < n$.

En revanche, ce qui est sûr, c'est que la notation $\sigma$ est (exclusivement) réservée à la somme de tous les diviseurs positifs de $n$. Ainsi, $\sigma(220)=504$, et non $284$. Il n'existe pas, à ma connaissance, de notation spécifique à la somme des diviseurs "propres" de $n$. On pourrait en créer une, comme par exemple $\sigma_{\textrm{propre}}$, mais c'est plutôt inutile, puisque $\sigma_{\textrm{propre}} (n) = \sigma(n)-n$.
df
Re: Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
@noix de totos: dans la littérature anglophone, on la trouve souvent notée $s(n)$ (somme des diviseurs propres de $n$).

@M.Poisson: il ne fait pas partie de la liste du Clay Institute qui ne contient plus que $6$ problèmes ouverts.
Ce qui ne veut pas dire que sa solution ne sera pas récompensée.

Puisqu'on parle de problèmes ouverts, je mets un lien vers un problème posé au début des années 60 et qui vient de trouver sa solution.

[www.newscientist.com]

[www.pnas.org]
...
Re: Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
$s(n)$ apparaît parfois, mais, je le répète, ce n'est pas communément admis (Par exemple, Pomerance utilise cette notation dans l'un des ses articles intitulé "The first function and its iterates", mais ce n'est pas fréquent). C'est d'ailleurs parfois aussi utilisé pour la fonction indicatrice des entiers $2$-pleins, par exemple, ou autre.

À noter que, si $s(n) := \sigma(n)-n$ et pour $x \to \infty$
$$\sum_{n \leqslant x} \frac{s(s(n))}{n} \sim \left( \frac{\zeta(2)^2 \zeta(3)}{\zeta(4)} - 2 \zeta(2)+1 \right) x \approx 0,715 \, x.$$
Re: Somme des diviseurs propres
il y a deux mois
Je vous remercie pour vos précisions.
Re: Somme des diviseurs propres
il y a sept semaines
avatar
La notation $\sigma^{*}(n)$ me semble pas mal.
Re: Somme des diviseurs propres
il y a sept semaines
@Sylvain : cette notation est déjà utilisée pour la somme des diviseurs unitaires de $n$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a sept semaines et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par noix de totos.
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