Congruence
dans Arithmétique
Bonsoir, soit y^2=x^3+x[p], pour p>2 un nombre premier alors le nombre de solutions dans Z/pZ est congru à 3 modulo 4. J'ai lu ça dans un livre mais je n'arrive pas à le démontrer.
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Réponses
Si $p=3$ mod $4$, le polynôme $X^3+X$ a pour seule racine $0$ dans $\mathbb F_p$, il faut donc montrer que le nombre de solutions de la forme $(x,y)$ avec $y \neq 0$ est congru à $2$ mod $4$, autrement dit que c'est le double d'un nombre impair. À nouveau on regroupe les paires de solutions de la forme $(x,y)$ et $(-x, y)$ et pour chaque $y \neq 0$, on observe que le nombre de $x \in \mathbb F_p$ tels que $(x,y)$ soit solution est $0, 1$ ou $3$. Finalement, si l'on sait qu'il existe au moins une solution avec $y \neq 0$, on obtient ce qu'on veut.
Il y a peut-être plus malin, et plus uniforme, mais j'ai fini de réfléchir pour ce soir !
Soit p=1[3] un nombre premier alors il existe des solutions toutes non triviales pour tout n>1
x^p+y^p+z^p=0[p^n] avec x, y, z appartenant à Z/pZ.
Soient $p$ un nombre premier tel que $ p \equiv 1 \mod 3\:$ et $\:n\in \N $ tel que $n>1.$
Alors: $\quad \exists (x,y,z) \in \Z^3 \:\:\text{tel que}\: \:xyz\not\equiv 0 \mod p\: \:\:\:\text{et}\:\: x^p+y^p+z^p \equiv 0 \mod p^n.$
Notation: $\:\: \forall x \in \Z\:\: \:\text{tel que}\: x\wedge p =1,\:\: \omega (x) $ désigne l'ordre de $\overline x$ dans le groupe multiplicatif $(\Z/p^n\Z)^{\times}.$
Soient $a \in \Z$ tel que $\overline a$ soit un générateur de $(\Z/p^n \Z) ^{\times} $ (qui est cyclique et d'ordre $p^n -p^{n-1}$),$\:\: m = p^{n-2} \dfrac{p-1}3,\:\: $ et $\:\: b= a^m.$
Alors: $\omega ( b ^p) =3.\quad $ D'autre part: $\:\forall x \in \Z ,\quad x\equiv1 \mod p\: \implies \quad \omega( x) \: \:\text {divise}\: \:p^{n-1}.\:\:\quad\quad$ Ainsi: $\quad b^p-1 \not\equiv 0 \mod p.$
On obtient: $\: (b^p -1)(b^{2p} + b^p +1) \equiv b^ {3p} -1\equiv 0 \mod p^n,\:\:\:$ puis: $\:\: b^{2p} + b^p +1 \equiv 0 \mod p^n$
En notant $ \:\:x=b^2,\:y=b,\: z=1\:$ on a bien: $\:\:\boxed { xyz \not \equiv 0 \mod p, \quad x^p+y^p+z^p \equiv 0 \mod p^n.}$