Congruence

Supposons $p=1$ mod $4$. Alors il est bien connu qu'il existe $i \in \mathbb F_p$ tel que $i^2=-1$. Si $(x,y)$ est solution avec $y \neq 0$ alors $(x,-y), (-x, iy)$ et $(-x, -iy)$ aussi. Il y a donc un nombre de solutions de la forme $(x,y)$ avec $y \neq 0$ divisible par $4$. Reste à examiner le nombre de solutions de la forme $(x, 0)$ : elles correspondent aux racines du polynôme $X^3+X = X(X^2+1)$ qui a exactement $3$ racines dans notre cas : $0, i$ et $-i$.

Si $p=3$ mod $4$, le polynôme $X^3+X$ a pour seule racine $0$ dans $\mathbb F_p$, il faut donc montrer que le nombre de solutions de la forme $(x,y)$ avec $y \neq 0$ est congru à $2$ mod $4$, autrement dit que c'est le double d'un nombre impair. À nouveau on regroupe les paires de solutions de la forme $(x,y)$ et $(-x, y)$ et pour chaque $y \neq 0$, on observe que le nombre de $x \in \mathbb F_p$ tels que $(x,y)$ soit solution est $0, 1$ ou $3$. Finalement, si l'on sait qu'il existe au moins une solution avec $y \neq 0$, on obtient ce qu'on veut.

Il y a peut-être plus malin, et plus uniforme, mais j'ai fini de réfléchir pour ce soir !